¿Cómo se calcula la fórmula $\sum \limits_{r=1}^d r \cdot 2^r$?

Question

Dado $$1\cdot 2^1 + 2\cdot 2^2 + 3\cdot 2^3 + 4\cdot 2^4 + \cdots + d \cdot 2^d = \sum_{r=1}^d r \cdot 2^r,$$ ¿cómo podemos inferir la siguiente solución? $$2 (d-1) \cdot 2^d + 2. $$

Gracias

Answer 1

Hay al menos cinco formas:

1. Usar inducción simple.
2. Diferenciar la identidad de la suma de una serie geométrica.
3. Encontrar alguna interpretación combinatoria para ambos lados y proporcionar una biyección.
4. Escribir como una suma de series geométricas, sumar cada serie individual y sumar la serie geométrica resultante.
5. Dividir ambos lados por $2^d$ y modificar ligeramente la suma para que tenga alguna interpretación probabilística. Usar propiedades conocidas de la variable aleatoria relevante.

Answer 2

Tal vez una sexta forma...

$$\displaystyle S = \sum_{r=1}^{d} r\cdot 2^r$$

$$\displaystyle 2S = \sum_{r=1}^{d} r\cdot 2^{r+1} = \sum_{r=2}^{d+1} (r-1)2^{r}$$

$$\displaystyle 2S -S = d\cdot 2^{d+1} - \sum_{r=1}^{d} 2^r = d\cdot 2^{d+1} - 2^{d+1} +2 = (d-1)2^{d+1} + 2$$

Answer 3

PISTA $\displaystyle\rm\ \ \ r\ x^r\ =\ x \frac{d}{dx} (x^r)\:.\ $ Aplica esto a $\rm\ \sum_{r=1}^d x^r\ $ luego pon $\rm\ x = 2\:$.

Answer 4

Esta es una progresión aritmético-geométrica. Recuerdo haber hecho estas en la escuela, creo que incluso antes de los O-levels. La típica progresión A-G tiene la forma $$ab,ar(b+d),ar^2(b+2d),\ldots,a r^n(b+nd)\ldots$$ (es el producto punto a punto de una progresión aritmética y una progresión geométrica). Para obtener la suma de los primeros $N$ términos, se utiliza el mismo truco que para sumar $N$ términos de una PG. Sea $$S=\sum_{k=0}^{N-1} ar^k(b+kd).$$ Entonces $$rS=\sum_{k=0}^{N-1} ar^{k+1}(b+kd)=\sum_{k=1}^N ar^k(b+kd-d).$$ Por lo tanto $$(1-r)S=ab-ar^N(b+(N-1)d)+\sum_{k=1}^{N-1}adr^k.$$ La última suma es la de una PG, ¡sobre la cual uno ya sabe...

Answer 5

Denote la solución por $\rm\:S(d)\:,$ y pon $\rm\ s(d) = S(d)/2 - 1 = (d-1)\:2^d\:.\ $ Es la solución única de la recurrencia $\rm\ s(2) = 4,\ \ s(d+1)/s(d) = 2d/(d-1)\ \:$ es decir $\rm\ (d-1)\ s(d+1)\ =\ 2d\ s(d)\:.\: $ Basta verificar que $\rm\ sum/2 - 1$ satisface la misma recurrencia - un cálculo simple (probablemente esencialmente el mismo cálculo que está en la respuesta de Moron, pero no lo he comprobado).

REMARK $\ $ Este es un ejemplo prototípico del hecho de que los teoremas de unicidad proporcionan herramientas muy poderosas para probar igualdades. Para muchos ejemplos de esto, vea algunas de mis publicaciones anteriores.