¿Cómo debo demostrar la dualidad?

Question

Rudin frecuentes (Real Análisis Complejo, Primera edición, Capítulo 6, el Problema 4):

Supongamos $1\le p\le \infty$, e $q$ es el exponente conjugado de a $p$. Supongamos $u$ $\sigma$- finito medir y $g$ es una función medible tal que $fg\in L^{1}(\mu)$ por cada $f\in L^{p}(\mu)$. Demostrar que, a continuación,$g\in L^{q}(\mu)$.

Me preocupa el hecho de que $|g|_{q}$ podría ser ilimitado si seleccionamos extraño lo suficientemente $f$. El titular de la desigualdad sólo nos da $$|fg|_{1}\le |f|_{p}|g|_{q}\leftrightarrow |g|_{q}\ge \frac{|fg|_{1}}{|f|_{p}}$$All the constructions I know proving $g\en L^{p}$ starts by assuming $f\rightarrow fg$ es un delimitada lineal operador，así que no puedo utilizar el razonamiento circular por aquí.

Es suficiente para probar la declaración finito para medir espacios y funciones simples. Así que emulando Rudin podemos suponer $|g|=\alpha g$ donde $|\alpha|=1$ $\alpha$ es medible. Deje $E_{n}=x:|g(x)|\le n$ y deje $f=\chi_{E_{n}}\alpha g^{q-1}$. Entonces tenemos $$\int_{E_{n}}|g|^{q}d\mu=\int_{X}|fg|d\mu\le K_{n}$$ for some $K_{n}<\infty$. But this constant obviously shift with the $n$ I choose, hence probably does not have a finite upper bound (for example $K_{n}=n$). Y me quedé atrapado.

En el problema 6, Rudin ahora se pregunta:

Supongamos $1<p<\infty$, y demostrar que las $L^{q}(\mu)$ es el espacio dual de $L^{p}(\mu)$ incluso si $\mu$ no $\sigma$-finito.

No dejo de pensar en ella, pero no sabemos cuál es la mejor manera de demostrarlo.

Answer 1

Esta respuesta es acerca de la última parte sobre cómo extender la dualidad, más allá de $\sigma$-finito medidas desde la primera parte se hace cargo de Si $f$ es medible y $fg$ $L^1$ todos los $g \in L^q$ debe $f \in L^p$? mencionado por David Mitra.

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La respuesta a "¿cuál es la mejor manera de probar que $L^{q}(\mu)$ es el espacio dual de $L^{p}(\mu)$ incluso si $\mu$ no $\sigma$-finito" es probablemente una cuestión de gusto. Creo que la prueba de uso uniforme de la convexidad y la Milman-Pettis teorema sugerido por David Mitra es agradable. Las habituales exposiciones aplicar Clarkson desigualdades o Hanner desigualdades. Estos últimos son más fáciles de demostrar que la primera, pero que me deja con la sensación de salir de la azul, véase también la discusión en Mathoverflow.

Un esclarecedor debate del enfoque de la dualidad a través de la convexidad uniforme de la $L^p$-espacios está dada por Harald Hanche-Olsen, En la convexidad uniforme de $L^p$, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 134 (2006), 2359-2362. El documento concluye con un esbozo de la prueba de que usted está preguntando acerca de. Alternativamente, usted puede consultar las referencias proporcionadas por David Mitra en los comentarios.

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Dudo, sin embargo, que las mencionadas pruebas son lo Rudin tenido en cuenta en este ejercicio. Después de todo, queremos demostrar que $L^q$ es dual a $L^p$ $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ por el uso de los métodos que proporciona en dicho capítulo y por la reducción en el $\sigma$-en el caso finito.

No es difícil demostrar que el natural mapa de $L^q \to (L^p)^\ast$ dado por el envío de $g \in L^q$ $\varphi_g(f) = \int f g$es isométrica: utiliza Hölder la desigualdad y uno comprueba que $f = \lVert g\rVert_{p}^{1-p} \frac{\lvert g\rvert}{g}$ $L^p$ función de la norma $\lVert f \rVert_q = 1$ tal que $\varphi_g(f) = \lVert g\rVert_q$.

Queda por demostrar que todos los $\varphi \in (L^p)^\ast$ es de la forma $\varphi_g$ algunos $g \in L^q$.

Observa que la función $g \in L^q$ debe desaparecer fuera de un conjunto de $\sigma$-finito medida (desde $\lvert g\rvert^q$ es integrable). Así, dado un continuo funcional $\varphi \colon L^p \to \mathbb{R}$, podemos de alguna manera, debe ser capaz de demostrar que es "compatible", en un conjunto de $\sigma$-finito medida. Con esto quiero decir que debemos ser capaces de encontrar una $\sigma$-conjunto finito $E$ tal que $f|_E = 0$ implica $\varphi(f) = 0$. Si tenemos eso, la conocida dualidad se aplica.

Deje $f_n \in L^p$ funciones de norma $\lVert f_n\rVert_p = 1$ tal que $\varphi(f_n) \to \lVert \varphi \rVert$. La intuición es que el $\lVert \varphi\rVert-\varepsilon \lt \varphi(f_n) \leq \lVert \varphi\rVert$ significa que $\varphi$ debe ser cero en funciones, cuyo apoyo es disjunta de la de $f_n$.

Recoger todos los apoyos de la $f_n$'s juntos en un set $E$, el uso de un pequeño truco para mostrar que el es $\sigma$-finito: vamos a $E_n = \{x \in X : \sum_{i=1}^n |f_i(x)|^p \geq 2^{-n}\}$. Tenemos $\mu(E_n) \lt \infty$ $E = \bigcup_{n=1}^\infty E_n$ es un conjunto de $\sigma$-finito medida que contiene los soportes de todas las $f_n$'s. Si logramos demostrar que $\varphi(h) = 0$ todos los $h \in L^p$ tal que $h|_E = 0$ está hecho: $E$ $\sigma$- finito y por lo tanto nos encontramos con una función de $g$ $L^q(E)$ en representación $\varphi$ (extender $g$ cero en $X \setminus E$).

Observe que $L^p(X) = L^p(E) \mathbin{\oplus_p} L^p(X \setminus E)$, con lo que quiero decir que cada una de las $f \in L^p(X)$ puede ser el único escrito como $f = f|_E + f|_{X \setminus E}$ y tenemos la identidad $$\lVert f \rVert_{p} = \left(\lVert f|_E \rVert_p^{p} + \lVert f|_{X \setminus E}\rVert_{p}^p\right)^{1/p}$$ para la norma. Por la dualidad y la suposición de $1 \lt p \lt \infty$ tenemos $$\lVert \varphi\rVert = \left(\lVert\varphi|_{L^p(E)}\rVert^{q} + \lVert \varphi|_{L^{q}(X\setminus E)}\rVert^q\right)^{1/q},$$ ver $(X \oplus_p Y)^*$ isométrica a $(X^*\oplus_q Y^*)$ para más detalles. Por la elección de $E$ tenemos $\lVert\varphi\rVert = \lVert \varphi|_{L^p(E)}\rVert$ donde $\varphi|_{L^p(X \setminus E)} = 0$, como se ha dicho anteriormente.

Para repetir, $E$ $\sigma$- conjunto finito, podemos encontrar $g \in L^q(E)$ tal que $\varphi_g = \varphi|_{L^p(E)}$ y del establecimiento $g = 0$ $X \setminus E$ obtenemos una función en $L^q(X)$ en representación $\varphi$. Por lo tanto, el mapa de $L^q(\mu) \to L^p(\mu)^\ast$ es surjective.