Ejemplo de una función continua de $(0,1) \times (0,1)$ a $\mathbb{R}^2$

Question

La pregunta es: Dé un ejemplo de una función $f$ , continua en $S=(0,1) \times (0,1)$ , de tal manera que $f(S)=\mathbb{R}^2$ .

Me estoy atascando en $f(x)=\tan\left(\pi \left(x-\frac{1}{2}\right)\right)$ , que cubre todo el $\mathbb{R}$ pero no todos los $\mathbb{R}^2$ .

Answer 1

En lo que sigue asumo que un mapa $f:\ ]0,1[\to \mathbb R^2$ se busca. $$ $$ Existen mapas continuos suryectos $p:[0,1]\to[0,1]^2$ se llaman curvas de Peano. Se puede elegir $p$ de tal manera que la "curva" comienza en $(0,0)$ y termina en $(1,1)$ . Por lo tanto, es posible construir un mapa continuo $f:\ ]0,1]\to\mathbb R^2$ de manera que las restricciones de $f$ a los intervalos $[{1\over n+1},{1\over n}]$ son curvas de Peano que cubren una secuencia creciente de cuadrados $Q_n$ cuya unión es $\mathbb R^2$ . Al final, el punto $1$ puede omitirse con seguridad del dominio de $f$ .