<blockquote>
<p>¿Existe $P$ tal que $ $PP^{\dagger}=\left(\begin{array}{cc}
I & 0\\
0 & -I
\end{array}\right)?</p>
</blockquote>
<p>Aquí es hermítica $P^{\dagger}$ $P$, y significa que una matriz de identidad de $I$ $N\times N$.</p>
<p>Es obvio que si $N=1$, tal % de matriz $P$no existe, me pregunto si existe $P$ $N\neq1$.</p>
<p>¿La condición para esta matriz de alguna manera parece que la condición de matriz unitaria, si es que existe, lo hace tener un nombre?</p>
Respuesta
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Esto es en realidad imposible. La razón de esto es que la norma Euclídea en $\mathbb{C}^n$ debe ser positiva definida. Por lo tanto, para cualquier complejo de valores de la matriz de $P$ $x \in \mathbb{C}^n$ hemos
$$ \langle PP^\daga x, x \rangle \;\; =\;\; \langle P^\daga x, P^\daga x\rangle \;\; =\;\; ||P^\daga x||^2 \;\; \geq \;\; 0. $$
Si $PP^\dagger$ tenía la forma que usted describió en su sistema, entonces eso significaría que no habría autovectores $v$ $PP^\dagger$ correspondiente al autovalor $-1$, lo que significa que $\langle PP^\dagger v, v \rangle = \langle -v,v\rangle = - ||v||^2$, lo que se contradice con el positivo de la definición de la norma.
