Pregunta rápida: matriz con norma igual a radio espectral

Question

$A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, Definir:

el radio espectral

\rho $$ (A) = max\ {| \lambda |: \ Lambda \mbox {es un valor propio de} A} $$

y la norma

$$ | A\ | = max_ {| x | = 1} | A(x) | $$ donde |. | es la norma euclidiana en $\mathbb{C}^n$.

Problema: Encontrar todas las $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tal que $\rho(A)=|A|$.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Esto es realmente un problema resuelto. Una compleja matriz cuadrada $A$ se llama radial si su radio espectral es igual a su espectral de la norma $\|A\|_2=\max_{\|v\|_2=1}\|Av\|_2$. Una caracterización completa de la radial matrices se encuentran en

M. Goldberg y G. Zwas (1974), En matrices que tengan igual espectral de radio y espectral de la norma, Álgebra Lineal y Su Aplicación, de 8: 427-434.

El principal resultado de este trabajo es que cuando $n\ge3$, $A$ es radial si y sólo si $A$ es unitarily similar a una matriz de la forma $$ \pmatrix{D&0\\ 0&L} $$ para algunos matriz diagonal $D$ y algunos triangular inferior de la matriz $L$ tal que $\rho(A)^2I-L^\ast L$ es positivo semidefinite.

Answer 2

No creo que esto le da la más grande posible de la clase de tales matrices pero aún así es bastante grande:

Considerar la descomposición de Schur $A$: $A=UTU^*$ donde $U$ es unitaria y $T$ es triangular superior con los valores propios de a $A$ sobre la diagonal de la $T$. Tenga en cuenta que los autovalores de a $A$ puede ser en la diagonal de $T$ en cualquier orden. Si $T$ pueden ser particionados $$ T=\begin{bmatrix}D & 0 \\ 0 & R\end{bmatrix}, $$ donde $D$ es la diagonal tal que $\rho(D)=\|D\|\geq\|R\|$ $R$ es triangular superior, entonces $\rho(A)=\|A\|$.

En primer lugar, $\rho(A)=\max\{\rho(D),\rho(R)\}$, y desde $\rho(R)\leq\|R\|$ (que vale para cualquier matriz norma), tenemos $\rho(R)\leq\|R\|\leq\|D\|=\rho(D)$. Por lo tanto $\rho(A)=\rho(D)$. Segundo, la 2-norma es unitarily equivalente y, por tanto, $\|A\|=\|T\|=\max\{\|D\|,\|R\|\}=\|D\|$ desde $\|R\|\leq\|D\|$. Pero $\|D\|=\rho(A)$ y, por tanto,$\|A\|=\rho(A)$.

Estoy no seguro de que esto caracteriza a todas las matrices $A$ tal que $\|A\|=\rho(A)$, pero la clase es todavía bastante grande, ya que contiene todas las matrices (matrices con ningún bloque de $R$ anterior) y, sin embargo, algo más que puede ser exprimido en el $R$-bloque, por ejemplo, a una cuadra de la diagonal de la matriz con un bloque normal y el otro arbitraria con una lo suficientemente pequeño como norma y valores propios.

Answer 3

Nota: Tenga en cuenta que $||A||=\sigma_1$, el mayor valor singular de $A$. Así, todos matrices hermítica (y sesgo hermítica) fácilmente cumple con su requisito. Pero no estoy seguro si pueden agregarse otras matrices.

Answer 4

Que $A$ con el % de descomposición de Schur $A = UTU^$, donde $T$ es y matriz triangular superior cuyos movimientos diagonales (valores propios) son en orden de mayor valor absoluto menos. Se nota que $$ A ^ A = (UTU^)^(UTU^) = UT ^ TU ^ $$ sigue que $A$ será una matriz con $|A|>\rho(A)$ (una de las matrices no queremos) iff allí es un vector $y$ para que $$ y ^ (T ^ T) y > \rho (A) ^ 2 y ^ y $$ no estoy aún seguro donde proceda , pero esto puede ser un primer paso útil.