¿Cómo demuestras que los ciclos de longitud 3 no generan todo el grupo simétrico?

Question

Dejemos que $S$ sea un conjunto finito. Sea $Sym(S)$ sea el grupo simétrico en $S$ . Dejemos que $A$ sea el subconjunto de permutaciones $\sigma$ que son tales que existe $a,b,c \in S$ tal que $\sigma(a) = b, \sigma (b) = c$ y $\sigma (c) =a$ y para cualquier otro elemento de $S$ La acción de $\sigma$ es la identidad. En resumen, dejemos que $A$ sea el conjunto de ciclos de longitud 3.

¿Cómo se demuestra que el subgrupo generado por $A$ no es el conjunto de $Sym(S)$ ?

Answer 1

Mira el firmar de una permutación. Si una permutación puede descomponerse en un producto de transposiciones pares (también conocidas como 2 ciclos), le damos un signo de 1. En caso contrario, le damos un signo de -1. Resulta que es una noción bien definida. El grupo generado por las permutaciones pares no puede cubrir a las Impares, por lo que no puede ser el grupo simétrico completo.

P.D. El grupo generado por las permutaciones pares suele llamarse grupo alterno.

Answer 2

Considere la acción de $S_n$ en el anillo de polinomios $R=\mathbb R[x_1,\dots,x_n]$ dada por la permutación de las variables, y considerar el elemento $$\Delta=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)\in R.$$ Entonces cada $3$ -correcciones del ciclo $\Delta$ por lo que todo el subgrupo de $S_n$ generado por $3$ -ciclos actúa trivialmente sobre $\Delta$ . Sin embargo, hay elementos de $S_n$ como todas las transposiciones, que hacen no actúan trivialmente sobre $\Delta$ sino que lo mapea a su opuesto. Por lo tanto, $3$ -los ciclos no generan $S_n$ .

También se puede utilizar la acción de $S_n$ en $\mathbb R^n$ , de nuevo por permutación pero ahora de las coordenadas. Entonces la matriz correspondiente a cada $3$ -ciclo tiene determinante $1$ por lo que cada elemento del subgrupo generado por $3$ -ciclos es actúa sobre $\mathbb R^n$ a través de una matriz con determinante $1$ . Sin embargo, hay elementos en $S_n$ cuya matriz correspondiente es de determinante $-1$ La conclusión es la misma que la anterior.

BN: El sentido de hacerlo así es evitar tener que comprobar primero que la paridad de los elementos de $S_n$ está bien definida; todas las respuestas hasta ahora dependen de que se haga esto (me pregunto si se puede evitar...). De hecho, esto se puede convertir fácilmente en una prueba de ese mismo hecho.

Este es un ejemplo más o menos canónico de por qué queremos estudiar representaciones de grupos.

Answer 3

Considera la paridad.