Aquí es una breve demostración.
Seleccione las bolas hasta el primer rojo o amarillo bola es recogido. (Suponemos que esto es cierto a suceder.) Independientemente de cómo bolas seleccionadas (y usted puede incluso jugar Polya urna gustan los juegos y poner más bolas de nuevo en la urna después de cada selección), supongamos que en tanto que no sea el rojo o el amarillo bolas recogidas, no siempre permanecen $r$ bolas rojas y $y$ amarillo bolas en la urna y que todos los de rojo y amarillo, las bolas tienen la misma probabilidad de ser elegido. (Este es el caso de los independientes de selección al azar, ya sea con o sin reemplazo.) Este supuesto implica que en el momento en que el rojo o el amarillo de la bola es seleccionado en primer lugar, se ha $r$ de posibilidades de ser el color rojo de la $r+y$ pelotas posibles, dando una probabilidad de $r/(r+y)$. Hecho!
Usted pidió una prueba. OK, eso es justo: el rigor que requiere la notación matemática y conceptos ya que nos ayudan a evitar errores. El siguiente análisis, que emula a la anterior manifestación, es muy general pero sólo requiere de definiciones y axiomas y, por tanto, es completamente primaria.
Vamos $$X_0, X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$$ be a stochastic process that models the selection of balls. For each $i$ let $\mathcal{R}_i \subconjunto \mathbb{R}$ and $\mathcal{Y}_i \subconjunto \mathbb{R}$ be disjoint Borel sets modeling the events "a red ball is drawn at step $i$" and "a yellow ball is drawn at step $i$," respectively. Let $\mathcal{B}_i = \mathbb{R}\setminus \left(\mathcal{R}_i \cup \mathcal{Y}_i\right)$ be the event in which neither a red ball nor a yellow ball is drawn at step $i$. The event "no red or yellow balls are drawn before step $i$ but one of them is drawn at step $i$"
$$\mathcal{A}_{i}=\{\omega\,|\, X_0(\omega) \in \mathcal{B}_0, X_1(\omega)\in\mathcal{B}_1,\ldots,X_{i-1}(\omega)\in\mathcal{B}_{i-1}, X_{i}(\omega)\in\mathcal{R}_i \cup\mathcal{Y}_i\}.$$
La probabilidad de extraer una bola roja en el paso $i$, después de no ver el rojo o el amarillo bolas antes de entonces, se puede escribir en términos de la probabilidad condicional
$$\Pr(X_i \in \mathcal{R}_i\,|\, \mathcal{A}_{i}) \Pr(\mathcal{A}_{i}).\tag{1}$$
Por definición, si $\mathcal{A}_i$ se produce, entonces cualquiera de las $\mathcal{R}_i$ o $\mathcal{Y}_i$ debe ocurrir-y estos eventos son disjuntos. Por lo tanto
$$\Pr(\mathcal{R}_i\,|\,\mathcal{A}_i) = \frac{\Pr(\mathcal{R}_i)}{\Pr(\mathcal{R}_i) + \Pr(\mathcal{Y}_i)}.\tag{2}$$
Supongamos que es cierto que, finalmente, una de color rojo o amarillo bola se dibuja. Debido a que el $\mathcal{A}_i$ son distintos, esto puede ser expresado
$$1 = \sum_{i=0}^\infty \Pr(\mathcal{A}_i).\tag{3}$$
La probabilidad de extraer una bola roja primero se obtiene (según la definición de la probabilidad condicional) sumando sobre todos los posibles $\mathcal{A}_i$, debido a que estos son disjuntas y exhaustiva (a excepción tal vez de un conjunto de probabilidad cero representa el caso de que no sea el rojo o el amarillo de la pelota siempre está dibujado). La combinación de $(1)$ $(2)$ da a la expresión
$$\Pr(\text{Red drawn first}) = \sum_{i=0}^\infty \frac{\Pr(\mathcal{R}_i)}{\Pr(\mathcal{R}_i) + \Pr(\mathcal{Y}_i)} \Pr(\mathcal{A}_i).\tag{4}$$
Esta es la solución que estábamos buscando.
Cuando el muestreo al azar, con o sin reemplazo de una urna con $r$ bolas rojas y $y$ bolas amarillas, supongamos que en el paso $i$ hay $b_i \ge 0$ adicional de bolas de cualquiera (no rojo, no amarillo) de color. Entonces
$$\Pr(\mathcal{R}_i) = \frac{r}{r + y + b_i}$$
y
$$\Pr(\mathcal{Y}_i) = \frac{y}{r + y + b_i},$$
de dónde
$$\frac{\Pr(\mathcal{R}_i)}{\Pr(\mathcal{R}_i) + \Pr(\mathcal{Y}_i)} = \frac{r/(r+y+b_i)}{r/(r+y+b_i) + y/(r+y+b_i)} = \frac{r}{r+y}.$$
En consecuencia,$(4)$, en virtud de $(3)$, que se simplifica a
$$\Pr(\text{Red drawn first}) = \sum_{i=0}^\infty\frac{r}{r+y}\Pr(\mathcal{A}_i)=\frac{r}{r+y}\sum_{i=0}^\infty\Pr(\mathcal{A}_i) = \frac{r}{r+y}.$$
Que termina la prueba cuando el muestreo se realiza a partir de un número finito de urna sin reemplazo, porque es cierto que, finalmente, una de color rojo o amarillo bola va a ser dibujado (suponiendo que no hay, al menos, uno de ellos en la urna). Cuando el muestreo con reemplazo, un argumento estándar (basado en la distribución geométrica, pero de sólo tangencial de interés aquí) muestra que con el tiempo el dibujo de un color rojo o amarillo bola es cierto siempre las posibilidades no son cero, para empezar. Ese será el caso cuando el muestreo se realiza desde cualquier finito urna, QED.
