¿Es$d^2 / dx^2$ injective en$L^2$?

Question

Permita que$A: L^2(\mathbb R) \to L^2(\mathbb R)$ sea un operador lineal con dominio$domain(A) = H^2(\mathbb R)$ y$A = \frac{d^2}{dx^2}$.

El libro dice que$A$ es inyectiva pero no puedo mostrar esto.

Intenté lo siguiente:

$A$ es injective iff$Af = 0$ luego$f =0$ contiene.

Pero$Af = 0$ significa$\frac{d^2}{dx^2} f(x) = 0$.

Entonces$f(x)$ puede ser constante o algo así como$f(x) = x$, así que no pude mostrar que$f=0$.

¿Podría darme un comentario para esto?

Answer 1

Tenemos $f' = \text{cst}$. Pero desde $f'\in L^2$, esta constante debe ser cero. Así $f=\text{cst}$. Otra vez $f\in L^2$, por lo que la constante debe ser $0$.