Demuestre que el elipsoide$E = \left\{ (x,y,z) \in R^3 \mid \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1 \right\}$ es convexo

Question

Sé lo que es un elipsoide, pero no sé cómo acercarme a cómo probar que uno es convexo. Cualquier consejo sería muy apreciado.

Answer 1

Permita que$(x_1,y_1,z_1)$ y$(x_2,y_2,z_2)$ sean dos puntos en el elipsoide. Tenemos que demostrar que$(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2,\lambda y_1+(1-\lambda)y_2,\lambda z_1+(1-\lambda)z_2)$ también se encuentra en el elipsoide, donde$0 \le \lambda \le 1$.

Let$$A = \frac{\left(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2\right)^2}{a^2}+\frac{\left(\lambda y_1+(1-\lambda)y_2\right)^2}{b^2}+\frac{\left(\lambda z_1+(1-\lambda)z_2\right)^2}{c^2}.$ $ Es fácil observar que$$A = \lambda^2\left(\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} + \frac{z_1^2}{c^2}\right) + (1-\lambda)^2\left(\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} + \frac{z_2^2}{c^2}\right)+2\lambda(1-\lambda)\left(\frac{x_1x_2}{a^2} + \frac{y_1y_2}{b^2} + \frac{z_1z_2}{c^2}\right).$ $ En consecuencia,$$A \le \lambda^2 + (1-\lambda)^2+2\lambda(1-\lambda)\left(\frac{x_1x_2}{a^2} + \frac{y_1y_2}{b^2} + \frac{z_1z_2}{c^2}\right).$ $

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,$$\left(\frac{x_1x_2}{a^2} + \frac{y_1y_2}{b^2} + \frac{z_1z_2}{c^2}\right) \le \sqrt{\left(\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} + \frac{z_1^2}{c^2}\right)\cdot \left(\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} + \frac{z_2^2}{c^2}\right)} \le 1.$ $ Por lo tanto,$$A \le \lambda^2 + (1-\lambda)^2+2\lambda(1-\lambda)=1.$ $ QED