Calculando

Question

Al mismo tiempo molestando tratando de calcular una serie de energía para la función Gamma, funcioné a través de esta integral:

$$\int_0^\infty(\log t)^n e^{-t}\ dt,\ n \in \mathbb{N}$$

He miró un rato y he intentado un par de cosas, pero yo estoy confundido. ¿Hay una manera de calcular esto?

Answer 1

Es el $n$ th derivado de la función gamma evaluado en el punto $s=1$, donde la función gamma viene dada por

$$ \Gamma(s)=\int{0}^{\infty} x^{s-1}e^{-x} dx \implies \Gamma^{(n)}(s)|{s=1}=\int_{0}^{\infty} (\ln(x))^{n}e^{-x} dx .$$

Añadido: Puede iniciar desde el punto de

$$ \psi(x) = \frac{d}{dx}\ln \Gamma(x) =\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} \implies \Gamma'(x)=\Gamma(x)\psi(x),$$

donde $\psi(x)$ es la función digamma.

Answer 2

¿Ver el patrón? $$ \int_{0}^{\infty} \operatorname{ln} (t) ^ {7} \operatorname{e} ^ {-t} d t = - \gamma^{7}-\frac{61 \pi^{6} \gamma}{24} - 84 \zeta (5) \pi^{2}-\frac{21 \pi^{4} \zeta (3)} {2}-280 \zeta (3) ^ {2} \gamma - 70 \zeta (3) \pi^{2} \gamma^{2} - 504 \zeta (5) \gamma^{2}-\ frac {21 \pi^{4} \gamma^{3}}{4} - 70 \zeta (3) \gamma^{4}-\frac{7 \pi^{2} \gamma^{5}}{2} - 720 \zeta (7) $$ (computado por arce)