Si M + N y M $\cap$N son finitamente generados los módulos, por lo tanto son M y N.

Question

La pregunta es para probar que si $M+N$ $M \cap N$ son finitely módulos generados, entonces M y N son también finitely generado.

He intentado utilizar definiciones básicas, pero todos fallaron.

Puse algunos ejemplos para estudiar cómo puedo encontrar un generador de M (o N) cuando tengo los generadores de $M+N$$M \cap N$, pero luego me di cuenta de que no hay ninguna manera sencilla de hacerlo debido a $3\mathbb{Z}+5\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ es un finitely generadas $\mathbb{Z}$-módulo generado por $\{1\}$ $3\mathbb{Z} \cap 5\mathbb{Z}=15 \mathbb{Z}$ es también un finitely generadas $\mathbb{Z}$-módulo generado por $\{15\}$ pero $M=3\mathbb{Z}$ es generado por $\{3\}$ que no me dice nada concluyente.

Yo, a continuación, establezca $M=\{(x,y,0): x,y \in \mathbb{R} \}$$N=\{(x,0,z): x,z \in \mathbb{R} \}$. A continuación, $M+N=\mathbb{R}^3$ $M \cap N = \{ (x,0,0): x \in \mathbb{R} \}$ ambos son finitely módulos. El conjunto $\{(0,1,1),(0,-1,1),(1,0,-1)\}$ es un generador de $M+N=\mathbb{R}^3$ $\{(1,0,0)\}$ es un generador de $M \cap N$, pero de nuevo no hay ninguna manera obvia de la obtención de los generadores de M o N.

Cualquier interesantes ideas serán apreciadas.

EDIT: tengo que añadir que esta pregunta es un ejercicio en el capítulo 1 del libro que estoy leyendo. Capítulo 1 cubre sólo las definiciones básicas de los módulos, ejemplos de módulos, submódulos, cociente de los módulos y la generación de conjuntos de módulos. R-homomorphisms, exacta secuencias, los teoremas de Isomorfismo extendido por módulos, todos se discuten en el capítulo 2. Así que creo que no estoy permitido el uso de los materiales cubiertos en el capítulo 2 para resolver ejercicios en el capítulo 1.

Answer 1

Supongo que $M,N$ son submódulos de un determinado $R$-módulo. Desde $M+N$ es finitely generado, lo mismo es cierto para $(M+N)/N \cong M/(M \cap N)$. Desde $M \cap N$ es finitely generado, esto implica que $M$ es finitely generado. Por simetría, también se $N$ es finitely generado.

De forma más explícita (especialmente cuando no se conocen los cocientes y los teoremas de isomorfismo): no Deje $\{m_i+n_i\}$ ser un generador de $M+N$. Deje $\{u_j\}$ ser un generador de $M \cap N$. Entonces yo reclamo que $\{m_i\} \cup \{u_j\}$ es un generador de $M$ (en particular, si $M+N$ $M \cap N$ son finitely generado, entonces, lo mismo es cierto para $M$). De hecho, vamos a $m \in M$. A continuación, podemos encontrar $a_i \in R$$m = \sum_i a_i (m_i + n_i)$. De ello se desprende que $m - \sum_i a_i m_i \in M \cap N$, por lo tanto, hay $b_j \in R$$m - \sum_i a_i m_i = \sum_j b_j u_j$, es decir,$m = \sum_i a_i m_i + \sum_j b_j u_j$, QED.

Answer 2

Si piensa en la secuencia exacta $0 \to \rm M \cap N \to M \oplus N \to M + N \to 0$ debe ayudar a encontrar un número finito de generadores para $\rm M \oplus N$ y $\rm M$ y $\rm N$.

Answer 3

Esta pregunta y sus soluciones sería una herramienta útil: $M$ finitamente generado si submódulo y cociente son finitamente generados.

Que le da un lema eso si $A/B$ y $B$ finito se generan, entonces es así $A$.

Entonces consideras $\frac{M+N}{M}\cong\frac{N}{M\cap N}$ para la inspiración.