Número primo módulo

Question

Estaría muy agradecido si alguien me ayudara a entender y resolver el siguiente problema:

"Dejemos $p$ sea un número primo impar, sea $a$ sea un número entero cualquiera, y que $b = a^{(p-1)/2}$ . Demostrar que $b$ mod $p$ es $0$ o $1$ o $(p-1)$ ."

Gracias

Answer 1

El pequeño teorema de Fermat dice que $a^p\equiv a\pmod p$ . Desde $p-1$ es par, podemos escribir $$a(a^{(p-1)/2}+1)(a^{(p-1)/2}-1)\equiv 0\pmod p$$ Ahora bien, como $\Bbb Z_p$ es un dominio integral (de hecho es un campo), uno de los factores es $0$ .

Answer 2

Si $p$ divide $a$ entonces $a^{(p-1)/2}\equiv 0 \mod p$ y luego $b\equiv 0 \mod p$ . Si p no divide $a$ entonces $a^{p-1} \equiv 1 \mod p$ (el pequeño thm de Fermat). Por lo tanto, como $b=a^{(p-1)/2}$ tenemos $b^2\equiv 1 \mod p$ y luego $b\equiv \pm 1 \mod p$ .