Teoría de conjuntos: Relaciones polinomios

Question

Estoy teniendo un poco de problemas para entender exactamente lo que esta pregunta está pidiendo a mí en mis Sets y Pruebas de la tarea:

Si un polinomio p $\mathbb{R}$ es una expresión de la forma $p(x) = a_nx^n + ... + a_1x+a_0$, es la relación $p\sim q \text{ if and only if } p(0) = q(0)$ una relación de equivalencia?

Sé que para que una relación sea una relación de equivalencia, debe ser reflexiva, simétrica y transitiva, pero no sé exactamente a entender cómo puedo probar/demostrarlo en esta situación.

Gracias!

EDIT: Ok, creo que he descubierto algo de él, pero no estoy seguro de si mi lógica es la de la derecha. Así, es simétrica porque $q\sim p$$q(0) = p(0)$, y desde $p(0) = q(0)$ sabemos que esto es cierto.
Y es reflexiva porque $p\sim q$$p(0) = p(0)$, que es trivialmente cierto. Lo que no entiendo es como para demostrar que es transitiva.

Answer 1

Deje $P$ ser el conjunto de todos los polinomios sobre $\mathbb{R}$. Usted tiene la relación $\sim$ definido en $P$ $$p\sim q\text{ if and only if }p(0)=q(0)\;.$$

La cosa que hay que notar acerca de esta definición es que todo se reduce a la relación de igualdad entre las cosas asociadas con $p$$q$, y la igualdad es el prototipo de relación de equivalencia. La comprobación de la reflexividad, simetría y transitividad es por lo tanto muy fácil, porque todos ellos se reducen a la reflexividad, simetría y transitividad de la igualdad. Por ejemplo, si $p\sim q$$q\sim r$,$p(0)=q(0)$$q(0)=r(0)$, por la transitividad de la igualdad tenemos $p(0)=r(0)$ y, por tanto,$p\sim r$. Argumentos similares de trabajo para las otras dos propiedades.

Tenga en cuenta que esencialmente el mismo argumento habría funcionado igual de bien para la relación $p\sim q$ si y sólo si $p(5)=q(5)$, digo; basta con sustituir $0$ $5$ todas partes, y el argumento pasa a través de la palabra para la palabra.

He aquí otro ejemplo. Supongamos que $X$ es un conjunto, y $f:X\to Y$ es alguna función. Definir una relación $\sim$ $X$ $x\sim y$ fib $f(x)=f(y)$. La comprobación de que $\sim$ es una relación de equivalencia en $X$ nuevo es fácil, porque $x\sim y$ se reduce a la igualdad de las cosas asociadas con $x$$y$. Por simetría, por ejemplo, si $x\sim y$,$f(x)=f(y)$, así que por supuesto $f(y)=f(x)$ (ya que la igualdad es simétrica), y por lo tanto $y\sim x$. La transitividad es casi igual de fácil: si $x\sim y$$y\sim z$,$f(x)=f(y)$$f(y)=f(z)$, lo $f(x)=f(z)$, y por lo tanto $x\sim z$. Observe cómo muy similar esta es la prueba de transitividad de la relación en su problema.

Incluso cuando una relación $\sim$ no está definido de una manera que fácilmente se reduce a la igualdad, hay una forma estándar para abordar el problema de la prueba de la $\sim$ es transitiva, dicen. Quiere mostrar que si $x\sim y$$y\sim z$,$x\sim z$, por lo que empezar por asumir que $x\sim y$$y\sim z$. A continuación, traducir estas dos afirmaciones en la más fundamental de las declaraciones acerca de $x,y$, e $z$ utilizando la definición de $\sim$, como lo hice en mis ejemplos. El uso de estas nuevas declaraciones de la prueba (de alguna manera!) que $x$ $z$ tiene la relación requerida. En el problema de esto fue fácil, debido a que estaban trabajando básicamente con la igualdad; en otros problemas que podrían ser más difíciles, incluso mucho más difícil, pero esto es todavía la forma de empezar.

Answer 2

El % de condición $p\sim q$si y sólo si implica la $p(0)=q(0)$ $p$ y $q$ tienen el mismo término constante. Como ya han demostrado la reflexividad y la simetría, tenemos sólo la transitividad para verificar. Asumir así $p\sim q$ y $q \sim r$. Entonces $p(0)=q(0)$ y $q(0)=r(0)$, que implica $p(0)=r(0)$, terminando el resultado.

Answer 3

La idea de la equivalencia es la generalización de la igualdad en el siguiente sentido. Una vez que logran establecer la relación dada $\sim$ es en realidad una relación de equivalencia, entonces los elementos de la misma clase de equivalencia son 'iguales', mientras que elementos de las diferentes clases. Las comillas indican que en realidad no son iguales en el sentido usual de la palabra.

En su caso, la costumbre, la igualdad de polinomios podría haber sido definido de la siguiente manera: Para los polinomios de $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ $q(x)=b_mx^m+\cdots+b_0,$ nos dice $p=q$ si $m=n$ $a_k=b_k, \forall 0\leq k \leq n.$ determinada relación, por otro lado, debilita los requisitos en cuando podemos decir polinomios son 'iguales'.

Ahora, para responder a su pregunta, le han pedido para comprobar si se puede grupo de polinomios en las clases y hablar de la 'igualdad', en el nivel de las clases. Con el fin de mostrar la reflexividad, elegir un polinomio arbitrario $p$ y comprueba si $p \equiv p.$ De la simetría, de selección arbitraria de polinomios $p,q$ y comprueba si $p\sim q$$q\sim p$. Y así sucesivamente.