Depredador-presa estocástico

Question

Mi sistema es un simple $P$ vs $I$ zorros y conejos modelo dado por: $$ \begin{cases} \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=& \alpha_I+\lambda_IP- \gamma_II -\delta_IPI;\\ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=&\alpha_P+\theta_PP-\delta_PPI \end{casos} $$

con un conjunto de parámetros: $$ \begin{cases} \theta_P &=0.15 \\ \delta_P&=0.01 \end{casos}\quad\text{ y }\quad \begin{cases} \alpha_I&=0.4 \\ \gamma_I&=0.1 \\ \delta_I&=0.05 \\ \lambda_I&=0.05 \end{casos} $$ pero una condición en la introducción inicial de $D$ conejos ($P$) a través de un marco de tiempo específico $T$.

$\alpha_P = \begin{cases} &\dfrac{D}{T} &\mbox{if } t\leq T \\ \\ &0 & \mbox{otherwise.} \end{casos}$

El MÉTODO que estoy usando es: por encima de cualquier pequeño intervalo de tiempo en $\delta t<<1$, uno de los siguientes pueden ocurrir:

I=I+1, con probabilidad de $\alpha_I+P\lambda_I$

I=I-1, con una probabilidad de $I\gamma_I-PI\delta_I$

P=P+1, con probabilidad de $ P\theta_P$

P=P-1, con una probabilidad de $ PI\delta_P$

PREGUNTA: Pero es cierto al $t<T$?

EDITAR 18/04/2013:

Considere la posibilidad de que P es en realidad Patógenos, y yo es en realidad la inmunidad de las células en el cuerpo humano. Una búsqueda de la literatura se encuentra: (donde Inoculación tiempo es $t<T$)

Pujol 2009 -el Efecto de La Exposición Constante Dinámica en la Dosis La respuesta de las Relaciones (de libre acceso)

Answer 1

Intenta hacer un modelo estocástico correspondiente al modelo determinista de arriba. El Maestro de la ecuación de que modelo es

$$\begin{eqnarray}\frac{d}{dt}\mathbb{P}(I,P) & = & \mathbb{T}(I,P|I-1,P)\cdot \mathbb{P}(I-1,P) - \mathbb{T}(I+1,P|I,P)\cdot \mathbb{P}(I,P) \\ & & + \mathbb{T}(I,P|I+1,P)\cdot \mathbb{P}(I+1,P) - \mathbb{T}(I-1,P|I,P)\cdot \mathbb{P}(I,P) \\ & & + \mathbb{T}(I,P|I,P-1)\cdot \mathbb{P}(I,P-1) - \mathbb{T}(I,P+1|I,P)\cdot \mathbb{P}(I,P) \\ & & + \mathbb{T}(I,P|I,P+1)\cdot \mathbb{P}(I,P+1) - \mathbb{T}(I,P-1|I,P)\cdot \mathbb{P}(I,P) \; . \end{eqnarray}$$

Where the transition probabilities are

$$\begin{eqnarray} \mathbb{T}(I+1,P|I,P) & = & \alpha_I+P\lambda_I\\ \mathbb{T}(I-1,P|I,P) & = & I\gamma_I-PI\delta_I\\ \mathbb{T}(I,P+1|I,P) & = & \alpha_P+P\theta_P\\ \mathbb{T}(I,P-1|I,P) & = & PI\delta_P \end{eqnarray}$$

It takes a bit of work, but computing the expectation values $\mathbb{E}(I)=\sum_{I,P}\cdot \mathbb{P}(I,P)$ and $\mathbb{E}(P)=\sum_{I,P} P \cdot\mathbb{P}(I,P)$, can be done by multiplying the master equation by either $I$ or $P$ and then summing over all values that $I$ and $P$ can get. This will give you the following equations:

$$\begin{cases} \frac{\mathrm{d}\mathbb{E}(I)}{\mathrm{d}t}=& \alpha_I+\lambda_I\mathbb{E}(P)- \gamma_I\mathbb{E}(I) -\delta_I\mathbb{E}(PI) \\ \frac{\mathrm{d}\mathbb{E}(P)}{\mathrm{d}t}=&\alpha_P+\theta_P\mathbb{E}(P)-\delta_P\mathbb{E}(PI) \end{casos}$$

Note however that you get the expectation of the product $PI$ y no el producto de las expectativas.

EDITAR:

Aquí está mi código en R para una carrera de la modelo estocástico

    ai<-0; # parameters
gi<-0.1;
di<-0.05;
li<-0.05;
tp<-0.15;
dp<-0.01;
ap<-0.5;
T<-10;


plusI<-c(1,-1,0,0);
plusP<-c(0,0,1,-1);

Time<-c(0); # initial conditions
I<-c(20); 
P<-c(5);

for (k in 1:800) { 
freq<-ai+li*P[k]+gi*I[k]+di*P[k]*I[k]+ap+tp*P[k]+dp*P[k]*I[k]; 
t<-rexp(1,freq);
Time<-c(Time,Time[k]+t);
sel<-sample(c(1,2,3,4),1,prob=c(ai+li*P[k],gi*I[k]+di*P[k]*I[k],ap*(Time[k]<T)+tp*P[k],dp*P[k]*I[k]));
I<-c(I,I[k]+plusI[sel]);
P<-c(P,P[k]+plusP[sel]);
}

layout(matrix(c(1,2),1,2));

plot(Time,I,type="l",col="blue");
plot(Time,P,type="l",col="red");

Para explicar la parte más esencial, puedo dibujar un tiempo de una distribución exponencial con parámetro de la suma de todas las tasas de los procesos. Entonces, yo decido en qué proceso se lleva a cabo mediante un muestreo con una probabilidad del vector igual a la 4 las tasas de los procesos. De esta manera, me las arreglé para simular el proceso estocástico. Ésta es una de ella:

No he tratado de explorar el espacio de estado en detalle, pero todas las opciones de las condiciones iniciales que he intentado llevar a una explosión exponencial de la población de conejo y un colapso de la fox de la población.

Answer 2

Voy a tratar de aclarar la confusión a la que se tiene acerca del sentido de la $P$$E(P)$.

En primer lugar, el significado de $P$. $P$ es una variable estocástica. Esto significa que $P$ es realmente una función en el espacio de todas las posibles realizaciones de los procesos estocásticos a un número (o, desde el $P$ es dependiente del tiempo aquí, una función real de tiempo).

¿Cómo funciona esto, conecte con la imagen? Cada curva corresponde a una realización del proceso. Vamos a llamar a los $\omega_i$ $i$ y el índice de la etiqueta de las realizaciones. Así que lo que se representa es realmente $P(\omega_i)$ diferentes $\omega_i$.

Luego hable sobre el porcentaje de infecciones. Al parecer, la infección se define como una situación en la que el número de agentes patógenos aumenta indefinidamente. Así que, todo lo que tienes que hacer para determinar que porcentaje es contar cuántas $\omega_i$ tienen $P(\omega_i)$ divergentes. Ya que es imposible hacer todas las posibles realizaciones, solo utiliza una muestra de ellos para estimar el porcentaje. Si la muestra es suficientemente grande, la estimación será bueno.

¿Qué acerca de $E(P)$? $E(P)$ no es una función de las realizaciones $\omega_i$ como $P$ es. De hecho, $E(P)$ es la media de $P$ sobre todas las posibles realizaciones. Uno podría formalmente como solucionar esto

$$E(P)=\sum_{\omega_i}P(\omega_i)\text{Prob}(\omega_i) \; .$$

But since by simulating we don't have access to all possible realizations and the probability distribution of those, we again just make an estimate by sampling. All you have to do is take the arithmetic mean over all sampled realizations.

But now you face a problem. Since some trajectories diverge, they will dominate the mean. A smarter thing to do would be to calculate maybe two separate means: one for diverging trajectories and one for converging trajectories.

I hope this helps clearing up the confusion somewhat. If you're still stuck, I think you should look more seriously into stochastic processes. May I advise you the following book:

N. G. van Kampen: Stochastic processes in physics and chemistry, North Holland 1981, 3rd edn., 2007, ISBN 0-444-89349-0

I want to stress one point again though: $E(P)$ no es necesario calcular el porcentaje de infecciones en todo!

EDIT: a Mi un poco alterado código en R:

    ai<-0.4; # parameters
gi<-0.01;
di<-0.005;
li<-0.05;
tp<-0.15;
dp<-0.01;
T<-1;
ap<-25/T;

dt<-0.01; # timestep

I<-c(2); # initial conditions
P<-c(10);


plusI<-c(1,-1,0,0);
plusP<-c(0,0,1,-1);

Time<-c(0); # initial conditions
I<-c(20); 
P<-c(5);

for (k in 1:10000) { 
freq<-ai+li*P[k]+gi*I[k]+di*P[k]*I[k]+ap+tp*P[k]+dp*P[k]*I[k]; 
t<-rexp(1,freq);
Time<-c(Time,Time[k]+t);
sel<-sample(c(1,2,3,4),1,prob=c(ai+li*P[k],gi*I[k]+di*P[k]*I[k],ap*(Time[k]<T)+tp*P[k],dp*P[k]*I[k]));
I<-c(I,I[k]+plusI[sel]);
P<-c(P,P[k]+plusP[sel]);
}

layout(matrix(c(1,2),1,2));

plot(log(Time)/log(10),log(I)/log(10),type="l",col="blue");
plot(log(Time)/log(10),log(P)/log(10),type="l",col="red");