Muestran que

Question

<blockquote> <p>Dada una función $g$ % derivado $g'$para todos x $\in {R}$ y % satisfactorio $g'(0)=2$y $g(x+y)=e^yg(x)+e^xg(y)$ % todo $x,y\in {R}$</p> <p>Mostrar que $g'(x)+g(x)-2e^x=0$</p> </blockquote> <p>$\dfrac{g(x+y)}{e^{x+y}}=\dfrac{g(x)}{e^{x}}+\dfrac{g(y)}{e^{y}}$</p> <p>Poner $x=0$,</p> <p>$g'(y)=2e^y+g(x)$</p> <p>También poner $y=0$, obtenemos,</p> <p>$0=e^xg(0)\implies g(0)=0$</p> <p>Tenía una fuerte corazonada que $g(x)=e^x-e^{-x}$ pero no satisface $g(x+y)=e^yg(x)+e^xg(y)$</p> <p>Por favor ayuda.</p>

Answer 1

Dejar $h(x)=\frac{g(x)}{e^x}$. Entonces, $h'(x)=\frac{g'(x)e^x-g(x)e^x}{e^{2x}}$.

Tenga en cuenta que escribió$h(x+y)=h(x)+h(y)$.

Luego,$h'(x)=\lim_{\epsilon\to 0} \frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{\epsilon}=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{h(\epsilon)}{\epsilon}=h'(0)=2$ whatever$x\in\mathbb{R}$ ya que notó que$h(0)=g(0)=0$.

entonces$h'(x)=\frac{g'(x)e^x-g(x)e^x}{e^{2x}}$ se convierte en$2e^x+g(x)=g'(x)$. ¿Alguna posibilidad de que el signo fuera a la inversa?

Answer 2

ps
Diferenciando wrt y
ps
Ahora pon el$$g(x+y) = e^y g(x) + e^x g(y)$
ps

Answer 3

Como se indicó en la pregunta y el otro contesta, con $h(x)=e^{-x}g(x)$ obtener $h$ diferenciable en a$x=0$$h(x+y)=h(x)+h(y)$. Este es uno de Cauchy fundamentales de las ecuaciones funcionales con solución de $h(x)=ax$. Ahora insertar a $g(x)=axe^x$ y comparar los derivados $g'(x)=a(1+x)e^x$ a $x=0$, $2=g'(0)=a$, para obtener la solución única.

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Establecimiento $x=0$ en la ecuación original da $$ g(y)=e^yg(0)+g(y)\implica que g(0)=0 $$ Calcular el $x$derivados y, a continuación, configuración de $x=0$ resultados en $$ g'(x+y)=e^yg'(x)+e^xg(y)\implica g'(y)=e^yg'(0)+g(y)\implica que g'(y)-g(y)-2e^y=0 $$ que tiene un signo distinto a la educación a distancia que obtuvo.

Answer 4

Como se señala en otras respuestas / comentarios, si$g'(x)\color{red}{-}g(x)-2e^x=0, g'(0)=2$, entonces:$$g(x)=2xe^x \Rightarrow g(x+y)=e^yg(x)+e^xg(y).$ $