Probablemente hay varias maneras de acercarse a este, pero creo que una buena manera sencilla es considerar los mecanismos microscópicos que produce la presión.
Imagina un contenedor esférico de algunos radius $r$ a menos de un gas de partículas en ella. Nuestro gas partícula tiene una masa de $m$ y una velocidad de $v$.
![Pressure]()
Cuando el gas de partículas golpea las paredes de los vasos y rebota ejerce una fuerza sobre las paredes del recipiente. Este es el mismo como si lanzara un objeto pesado en la que el objeto ejerce una fuerza sobre usted cuando se le golpea. Para calcular esta fuerza que usted necesita saber que la fuerza es la misma que la tasa de cambio del momento.
En cada colisión, la velocidad de las partículas de los cambios de$v$$-v$, por lo que el impulso de los cambios de$mv$$-mv$, por lo que el cambio de momentum es $\Delta p = 2mv$.
El tiempo de la partícula tarda en cruzar la esfera es $\tau = 2r/v$, por lo que el número de colisiones por segundo es $f = 1/\tau = v/2r$.
Y la tasa de iof cambio de impulso, es decir, la fuerza' es sólo el cambio de momentum por colisión $\Delta p$ multiplicado por el número de colisiones por segundo $f$:
$$ F = \Delta p f = 2mv \frac{v}{2r} = \frac{mv^2}{r} $$
Y por último, la presión es la fuerza por unidad de área y el área de la esfera es $4\pi r^2$, así que terminamos con la ecuación para la presión:
$$ P = \frac{F}{A} = \frac{mv^2}{4\pi r^3} \tag{1} $$
Ahora se preguntó cómo es que la presión es inversamente proporcional al volumen? Bien el volumen de una esfera es:
$$ V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 $$
Y podemos sustituir esto en la ecuación (1) para obtener:
$$ P = \frac{F}{A} = \frac{mv^2}{3V} \tag{2} $$
Así nos encontramos con que $P \propto 1/V$.
Si estás interesado podemos hacer algo mejor que esto, porque el equipartition de la energía dice que la energía cinética de la partícula en una temperatura de $T$ sobre $\tfrac{3}{2}kT$. Así, obtenemos:
$$ \tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{3}{2}kT $$
y podemos usar este sustituto de la $mv^2$ en la ecuación (2) para obtener:
$$ P = \frac{kT}{V} \tag{3} $$
Así también tenemos Guy-Lussac de la ley de $P \propto T$.
Y hay un último paso. Todo esto era sólo una partícula. Si tenemos un mol de gas luego de que la $N_a$ de las partículas, donde $N_a$ es Avagadro del número. Cada partícula es el que aporta el mismo impulso de cambio, por lo que la fuerza total de todas las partículas es simplemente:
$$ P = \frac{N_a kT}{V} $$
Y el producto $N_a k$ es sólo el ideal de la constante de los gases $R$ , por lo que nuestra ecuación final es:
$$ P = \frac{RT}{V} $$
que inmediatamente debe reconocer como la ley de los gases ideales.
Ahora he jugado bastante rápido y suelto con esta derivación y hay todo tipo de objeciones. Por ejemplo, las moléculas de gas tienen un rango de velocidades y todos ellos no golpear las paredes recto. Sin embargo, el espíritu de la derivación está bien, incluso si el detalle no lo es, y esperemos que esto ayuda a explicar exactamente por qué la ley del gas ideal tiene la forma en que lo hace.
