Probablemente hay varias maneras de acercarse a este, pero creo que una buena manera sencilla es considerar los mecanismos microscópicos que produce la presión.
Imagina un contenedor esférico de algunos radius r a menos de un gas de partículas en ella. Nuestro gas partícula tiene una masa de m y una velocidad de v.
![Pressure]()
Cuando el gas de partículas golpea las paredes de los vasos y rebota ejerce una fuerza sobre las paredes del recipiente. Este es el mismo como si lanzara un objeto pesado en la que el objeto ejerce una fuerza sobre usted cuando se le golpea. Para calcular esta fuerza que usted necesita saber que la fuerza es la misma que la tasa de cambio del momento.
En cada colisión, la velocidad de las partículas de los cambios dev−v, por lo que el impulso de los cambios demv−mv, por lo que el cambio de momentum es Δp=2mv.
El tiempo de la partícula tarda en cruzar la esfera es τ=2r/v, por lo que el número de colisiones por segundo es f=1/τ=v/2r.
Y la tasa de iof cambio de impulso, es decir, la fuerza' es sólo el cambio de momentum por colisión Δp multiplicado por el número de colisiones por segundo f:
F=Δpf=2mvv2r=mv2r
Y por último, la presión es la fuerza por unidad de área y el área de la esfera es 4πr2, así que terminamos con la ecuación para la presión:
P=FA=mv24πr3
Ahora se preguntó cómo es que la presión es inversamente proporcional al volumen? Bien el volumen de una esfera es:
V=43πr3
Y podemos sustituir esto en la ecuación (1) para obtener:
P=FA=mv23V
Así nos encontramos con que P∝1/V.
Si estás interesado podemos hacer algo mejor que esto, porque el equipartition de la energía dice que la energía cinética de la partícula en una temperatura de T sobre 32kT. Así, obtenemos:
12mv2=32kT
y podemos usar este sustituto de la mv2 en la ecuación (2) para obtener:
P=kTV
Así también tenemos Guy-Lussac de la ley de P∝T.
Y hay un último paso. Todo esto era sólo una partícula. Si tenemos un mol de gas luego de que la Na de las partículas, donde Na es Avagadro del número. Cada partícula es el que aporta el mismo impulso de cambio, por lo que la fuerza total de todas las partículas es simplemente:
P=NakTV
Y el producto Nak es sólo el ideal de la constante de los gases R , por lo que nuestra ecuación final es:
P=RTV
que inmediatamente debe reconocer como la ley de los gases ideales.
Ahora he jugado bastante rápido y suelto con esta derivación y hay todo tipo de objeciones. Por ejemplo, las moléculas de gas tienen un rango de velocidades y todos ellos no golpear las paredes recto. Sin embargo, el espíritu de la derivación está bien, incluso si el detalle no lo es, y esperemos que esto ayuda a explicar exactamente por qué la ley del gas ideal tiene la forma en que lo hace.