Existencia de infinitas soluciones para $x^2 \equiv n \bmod y, \ y^2 \equiv n \bmod x$

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero dado, considere la siguiente ecuación para $x,y \in \mathbb Z$ :

$$x^2 \equiv n \bmod y,\ y^2 \equiv n \bmod x$$

¿Existen infinitas soluciones a esta ecuación para cada $n$ ?

Si $n=d^2$ es un cuadrado, entonces es fácil ver $y=x+d$ dará infinitas soluciones. Pero en general, no tengo ninguna idea para hacer tal construcción. (De todos modos, $x=y=n$ será una solución).

Answer 1

He explorado un poco por ordenador y mis resultados son los siguientes, presentados sin pruebas.

Por cada $n>3$ podemos generar una secuencia infinita de soluciones.

Definir una secuencia por $a_{k}=(n-2)a_{k-1}-a_{k-2}$ con $a_1=1$ y $a_2=n-1$ . Es bastante sencillo demostrar por inducción que $a_k^2 = a_{k-1}a_{k+1} + n$ . De esto se deduce que cualquier par de elementos consecutivos de la secuencia, $x=a_k$ , $y=a_{k+1}$ satisface las ecuaciones.
Así que para $n=4$ se obtiene $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...$ .
Para $n=5$ se obtiene $1, 4, 11, 20, 76, 199, 521,...$ .
Para $n=6$ se obtiene $1, 5, 19, 71, 265, 989,...$ .
Para $n=7$ se obtiene $1, 6, 29, 139, 666,...$ .
etc.

La misma construcción funciona también para $n<0$ .
Así que para $n=-1$ se obtiene $1, -2, 5, -13, 34, ...$ .
Para $n=-2$ se obtiene $1, -3, 8, -21, 85, ...$ .
etc.

Para $n=0$ tienes las infinitas soluciones: $x=k$ , $y=k$ para cualquier $k$ .

Para $n=1$ tienes las infinitas soluciones: $x=k$ , $y=1$ para cualquier $k$ .

Para $n=3$ hay una fórmula recursiva diferente para una secuencia infinita de soluciones.
$(x_n,y_n)=$ $(6,3)$ , $(69,39)$ , $(753,426)$ , $(8214,4647)$ , $(89601,50691)$ , $...$
Estos satisfacen $x_k=11x_{k-1}-x_{k-2}$ y $y_k=11y_{k-1}-y_{k-2}$ .

$n=2$ es el caso más difícil. Sólo he encontrado las siguientes soluciones: $(1,1)$ , $(2,2)$ , $(1262,94)$ y $(3602578,58594)$ .