Este post es una modificación de un post anterior he puesto suprimido, que era demasiado desordenado y básicamente había dos cuestiones separadas. (Que no ha recibido respuestas.)
Un común ejemplo muy motivador para el teorema de la función implícita (IFT) es la ecuación de $x^2+y^2=1$ donde $(x,y)\in \mathbb R^2$, como podemos localmente escribir $y$ como una ecuación de $x$ (y viceversa) en la forma familiar.
Considere el siguiente ejercicio de Wade es Una Introducción para el Análisis.
Supongamos que $f:=(u,v):\mathbb R\to \mathbb R^2$ $C^2$ y el conjunto de $(x_0,y_0)=f(t_0)$. Asimismo, se asume que $f'(t_0)\ne 0$. Demostrar hay un $C^1$ función de $g$ $g(x_0)=t_0$ $u(g(x))=x$ cualquier $x$ cerca de $x_0$ o una $C^1$ función de $h$ $h(y_0)=t_0$ y $v(h(x))=y$ cualquier $y$ cerca de $y_0$. (Tenga en cuenta que creo que el libro de texto tiene un error tipográfico ya que sólo tenemos que asumir que $f$$C^1$. Me corrija si estoy equivocado.)
Me puede hacer esto mediante la aplicación de la IFT a la función $F(x,t)=x-u(t)$ y a la función de $G(y,t)=y-v(t)$.
Ahora, el círculo unidad puede ser parametrizado (infinitamente muchas veces) por $(\sin(t), \cos(t))$$t\in \mathbb R$. Y el mapa de $(\sin(t), \cos(t))$ está en todas partes $C^1$.
Por lo tanto, me pregunto si el ejercicio puede ser visto como describir la motivación ejemplo del círculo unitario he descrito inicialmente. Es decir, ¿hay alguna manera de relacionar este problema con la simple idea de escribir el círculo unidad $x^2+y^2=1$ localmente como una función de la $x$ o $y$?
Creo que la respuesta es "sí", en cierto sentido, pero no estoy seguro de cómo. Solo quiero ganar un poco de intuición.
