Funtor derivado derecho y composición

Question

Dejemos que $G:\mathscr{C}\to \mathscr{D}$ y $F:\mathscr{D}\to \mathscr{E}$ sean funtores, y supongamos que $F$ es justo lo exacto. Para mí tiene sentido que en este caso tengamos $$ R^i(F\circ G) \cong F \circ R^iG $$ donde $R^i\square$ denota el $i$ -functor derivado derecho de $\square$ .

¿Es esto correcto? Si es así, ¿cómo se puede demostrar? Si no es así, ¿cuál es el contraejemplo?

Answer 1

Sí, existe tal isomorfismo. Tal vez bajo la suposición razonable es que $\mathcal{C}$ tiene suficientes injertos.

Puede demostrarlo utilizando $\delta$ -funcionarios. Nótese que $F\circ R^iG$ tiene una estructura natural de $\delta$ -funcionario. Para ver esto, cuando se da una secuencia exacta corta $0\rightarrow A'\rightarrow A\rightarrow A''\rightarrow 0$ se obtiene una larga secuencia exacta con el $R^iG(A)$ s, entonces aplique $F$ que es exacta.

Para demostrar que es universal, basta con mostrar que desaparece en los injetivos para $i>0$ pero este es el caso ya que $R^iG$ desaparece en el inyectivo. Así que $F\circ R^iG$ es el $i$ -ésima derivada del functor $F\circ R^0G=F\circ G$ .

Answer 2

Ver

WWAdams, MARieffel, funtores adjuntos y funtores derivados con una aplicación a la cohomología de semigrupos. J. Algebra, v.7 (1967), N1, pp.25-34.