Papel del factor $\frac{1}{|G|}$ en la definición de esta forma hermítica definida positiva

Question

Teorema: Si $G$ es un grupo finito y $\rho: G \to GL(V)$ es una representación de $G$ en un hermitian espacio de $V$, entonces existe un $G$-invariante, positivo-definida hermitian forma$\langle \cdot,\cdot\rangle$$V$.

La prueba de este teorema consiste en definir la forma

$$\langle v,w \rangle=\frac{1}{|G|} \displaystyle\sum_{g \in G}\{\rho_g(v),\rho_g(w)\},$$

donde $\{\cdot,\cdot\}$ es positivo-definida hermitian forma en $V$, mostrando que es un positivo-definida hermitian forma que es $G$-invariante.

Entiendo que el factor de $\frac{1}{|G|}$, básicamente, el promedio de la suma sobre el tamaño del grupo. Pero, y esto puede ser obvio para la mayoría, es el factor de $\frac{1}{|G|}$ necesario, o es más bien una formalidad?

Answer 1

Estrictamente desde la perspectiva de la invariación de $\langle \cdot, \cdot \rangle$, tienes razón que es necesario dividir por $G$.

Sin embargo, dividir por $|G|$ tiene un efecto muy bonito

Propuesta: recorrer esta construcción no da nada nuevo. Es decir, si ${ \cdot, \cdot }$ originalmente era $G$-invariante, entonces ${ \cdot, \cdot } = \langle \cdot, \cdot \rangle$.