Si $x^3+y^3+(x+y)^3+33 xy=2662$, $x,y\in \Bbb R$, encuentra $S=x+y$.

Question

<blockquote> <p>Si $x^3+y^3+(x+y)^3+33 xy=2662$ y $\{x,y\}\subset \Bbb R$, hallazgo $S=x+y$.</p> </blockquote> <p>Esta pregunta de un concurso de la Olimpiada. Respuesta dijo: $S=x+y=11$</p> <p>Intentado desarrollar $(x+y)^3$ para encontrar algo de utilidad para la situación, pero sin éxito.</p>

Answer 1

Reescribir la ecuación de la siguiente forma. $$(x^3+y^3-11^3+3xy)+(x+y)^3-11^3=0$ $ Ahora, podemos utilizar el $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc).$

Así, se obtiene: $$(x+y-11)(x^2+y^2+11^2-xy+11x+11y+(x+y)^2+11(x+y)+11^2)=0$ $ o $$(x+y-11)(2x^2+2y^2+xy+22x+22y+242)=0$ $ y obtener desde $$2x^2+2y^2+xy+22x+22y+242=(x+11)^2+(y+11)^2+x^2+xy+y^2>0,$ $ %#% $ de #% hecho!

Answer 2

$ $$ (x+y)^3 + (x+y)(x^2-xy+y^2)+33xy=2662 $ $ $$ S^3 + S(x^2+y^2-xy) + 33xy=2662 $ %#% $ $$ S^3 + S(S^2 - 3xy) + 33xy=2662 $ #% $ el %#% $ #% si $$ 2S^3 + 3xy(11 - S) = 2662 $: $$ \frac{3}{2}xy(11-S)=11^3 - S^3$ $ trate ahora de escribir las raíces de esta ecuación en $S \ne 11$, añadir la condición de su existencia ($$ \frac{3}{2}xy = 121 + 11S + S^2 $, causa las raíces son reales) y recuerden que $S$. Espero que esto dará lugar a la contradicción.

Answer 3

Que $x+y=S$

$$S^3+(S-x)^3+33 x (S-x)+x^3$ $ tiene una derivación

$$ \frac{d}{dx}(x^3+(S-x)^3+S^3+33 x (S-x) )= -3 (-11 + S) (S - 2 x) $$

Por lo tanto, lleva solución $ \frac{d}{dx}=0$ $S=11$ o $ S=2x$, es decir, $x=y$

$x=y$ $x^3+33 x y+(x+y)^3+y^3=10x^3+33x^2=2662$ Tiene una única solución real $x(=y)=11/2$

$y=c-x$, La función es una ploynomial $2 S^3 + (33 S - 3 S^2) x + (-33 + 3 S) x^2$ con determinante

$$ -351384 + 31944 S + 1089 S^2 + 66 S^3 - 15 S^4 $$

que es negativo excepto $S=11$