Si$a(n)=n^2+1$ entonces$\gcd(a_n,2^{d(a_n)})=1\text{ or }2$?

Question

Que $n\in\mathbf{N}$. Escribo $a_n=n^2+1$ y que $d(a_n)$ cuenta el número de divisores de $a_n$. Set $$\Phi_n=\gcd\left(a_n,2^{d\left(a_n\right)}\right) me gustaría mostrar y creo que es cierto que

$\Phi_n =\begin{cases} 1, & \text{if %#%#% is even} \[2ex] 2, & \text{if %#%#% is odd} \end{casos}$$

Mi instinto visceral es dos pico hacia abajo por la paridad y luego usar el lema de Euclides. Pero no estoy seguro de cómo utilizar el lema de Euclides.

Para ver un ejemplo de trabajo considere $n$. Entonces $n$, $n=15$ y $a_n=226$ $

Answer 1

Tenga en cuenta que $2^{d(a_n)}$ sólo puede ser divisible por $1$ y los poderes de $2$.

Si $n$ es incluso, a continuación, $n^2+1$ es impar y que en caso de $\gcd=1$.

Si $n$ es impar, entonces $n^2+1 \equiv 2 \pmod{4}$. Por lo tanto $n$ no es divisible por $4$, por lo tanto el $\gcd=2$.

Se agregó una explicación:

Utilizando el algoritmo de la división, podemos escribir cualquier número entero $n=4k+r$ donde $r \in \{0,1,2,3\}$. Así que cuando $n$ es impar, entonces sólo puede ser de la forma $4k+1$ o $4k+3$. Ahora considere el caso en que $n=4k+1$, luego $$n^2+1=(4k+1)^2+1=16k^2+8k+2=4(\text{some integer})+2.$$ Del mismo modo al $n=4k+3$,tenemos $$n^2+1=(4k+3)^2+1=16k^2+24k+8+2=4(\text{some integer})+2.$$

Esto significa $n^2+1$ siempre deja un resto de $2$, cuando se divide por $4$.