Grupo mesas para un grupo de cuatro elementos.

Question

Que debo considerar el grupo tablas obtenidas por el cambio de nombre de los elementos como esencialmente la misma y, a continuación, mostrar que hay sólo dos esencialmente diferentes grupos de orden 4.

Parece ser que existen tantas posibles diferentes tablas de grupo para todas las diferentes operaciones binarias - que es la razón por la que estoy confundido. Yo estaba pensando acerca del uso de Cayley de la tabla para mostrar su conmutatividad, pero realmente no estoy muy seguro. Cualquier ayuda por favor!

Edit: Después de todo, de su ayuda, estoy totalmente de entender cómo mostrar que sólo hay dos grupos diferentes de orden cuatro. Gracias. Lo único que tengo claro es cómo se anota el 'otras mesas antes de que indica que son esencialmente la misma que la de las otras mesas - lo que significa que hay sólo dos diferentes. No tiene sentido trabajar, pero creo que es lo que la cuestión requiere.

Respuesta: Después de un poco de jugar - me he dado cuenta de que hay cuatro mesas diferentes, sin embargo, 3 mesas son iguales como cualquier otro, sólo que con diferentes valores (Klein Grupo de 4, con 3 diferentes generadores). Por lo tanto, hay dos tablas.

Answer 1

Sugerencias: estamos hablando de grupos de orden 4, que hace posible binario de relaciones y elementos disponibles:

• cada uno debe contener la identidad,
• cada uno debe ser asociativas,
• cada uno debe ser cerrado bajo la recíproca (si $a \in G,\;a^{-1} \in G$)
• (y, por supuesto, cerrado bajo la operación).

Hay, esencialmente, (hasta el isomorfismo) sólo dos grupos de orden 4:

• uno de ellos será el aditivo grupo cíclico $\mathbb{Z}_4$, y
• el otro será el de Klein 4-grupo, que es de hecho abelian.

Si usted sigue las sugerencias para resolver el problema, usted encontrará, en efecto, que en lo posible cualquier GRUPO de orden 4 puede ser demostrado isomorfo a uno de los dos grupos mencionados, simplemente por un cambio de nombre de los elementos.

Sí: el uso de la tabla de Cayley será de gran importancia:

• para un grupo: ningún elemento puede aparecer dos veces en cualquier columna,
• ningún elemento puede aparecer dos veces en una fila.

Usted encontrará que la única manera de completar una tabla que satisface estos criterios son limitados y, a continuación, que muestran que un simple cambio de nombre de los elementos revelará el grupo es isomorfo a $\mathbb{Z}_4$ o de lo contrario el Klein-4 grupo.

Answer 2

No son muchos. Uno de los elementos será la identidad, llamémosle $1$. (Estoy escribiendo la operación de multiplicación). Así que la tabla parece $$\begin{matrix} 1 & a & b & c\ a\ b\ c\ \end{matriz} $$ (no estoy escribiendo las etiquetas fila y columna, ya que son los mismos que la primera columna y fila). ¿Ahora, lo que podría ser $ab$? No $a$, no $b$... ¿Y $ba$? Continuar con $ac$, $ca$, $bc$, $cb$, y luego se quedan con las plazas. Todos pudieron ser $1$, o...

Answer 3

De esta forma se simplifica:

Si un grupo tiene 4 elementos, podemos separar dos casos:

Case1: todos los elementos de orden 2, entonces el grupo abelian, y $a^2=1\Rightarrow a=a^{-1}$ para todos los $a\in G$: $ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$ la tabla debe ser fácil de hacer en este caso: sólo hay uno.

Case2: hay un elemento $a\not =1$ que es de orden diferente de 2, entonces del teorema de LAgrange, el orden debe ser de 4, y por lo $G=\langle a\rangle$, y para el grupo es cíclica, y por lo tanto es abelian. Hemos demostrado que un 4-grupo de elementos es siempre abelian. La tabla no debería ser difícil en este caso.

Answer 4

El orden de un elemento debe dividir $4$, por lo que debe ser $1$, $2$, o $4$. Sólo el elemento de identidad puede tener un orden $1$. Si un elemento tiene orden de $4$, entonces se genera todo el grupo y tiene un cíclica (de ahí abelian) del grupo.

De lo contrario, los tres no-identidad de cada uno de los elementos tiene el fin de $2$.

$e=\text{the identity}$.

$a,b,c=\text{the other three}$.

$a^2=b^2=c^2=e$, y cada uno de estos es su propia inversa.

Entonces, ¿qué es $ab$? No puede ser $e$ desde el si $ab=e$$(ab)b^{-1} = b^{-1}=b$, y, por tanto,$a=b$. No puede ser $a$ o $b$ desde el si $ab=b$$(ab)b^{-1}=bb^{-1}=e$$a=e$, y razonamiento similar muestra que esto puede no ser $a$ (pero tiene que multiplicar por la izquierda ser la inversa).

Por lo $ab=c$.

Razonamiento Similar muestra $ba=c$, e $ac=ca=b$$bc=cb=a$.

Por lo que el grupo abelian.