Estructura algebraica de la rosa con dos pétalos

Question

Estoy tratando de determinar si la rosa con dos pétalos ( $S^1 \vee S^1$ o la figura del ocho) tiene una multiplicación continua con elemento de identidad. Sé que esto es cierto para el círculo unitario $S^1$ en el plano complejo, donde $S^1 = \{ z \in \mathbb{C} \mid |{z}| = 1 \}$ .

También sé que $S^1$ es un Grupo de Lie, y creo que debido al punto de intersección de la figura del ocho, este espacio no tiene una multiplicación continua con elemento identidad y por lo tanto no es un grupo topológico. ¿Le importaría a alguien indicarme cómo enfocar esta idea?

Answer 1

El siguiente lema será útil:

Lema. Dejemos que $M$ sea un espacio topológico con una multiplicación continua $*$ y un elemento de identidad $e$ . Entonces $\pi_1 (M)$ es un grupo abeliano.

Prueba. Dejemos que $u, v : [0, 1] \to M$ sean bucles continuos basados en el elemento de identidad $e$ . Construimos una homotopía de $u \mathbin{.} v$ a $v \mathbin{.} u$ como se indica a continuación: que $H : [0, 2] \times [0, 2] \to G$ sea el mapa definido por

$$H(s, t) = \begin{cases} u(s) & 0 \le s \le 1, s + t \le 1 \\ v(s - 1) & 1 \le s \le 2, s - t \ge 1 \\ v(s) & 0 \le s \le 1, t - s \ge 1 \\ u(s - 1) & 1 \le s \le 2, s + t \ge 3 \\ u(\tfrac{1}{2}(s - t + 1)) * v(\tfrac{1}{2}(s + t - 1)) & \text{otherwise} \end{cases}$$

Se puede comprobar fácilmente que $H$ es continua (¡haz un dibujo!) y es la homotopía requerida.

Answer 2

En su segundo párrafo, alude a la idea de que $S^1\vee S^1$ puede ser un grupo de Lie. Para ser un grupo de Lie, se requiere no sólo una multiplicación continua con identidad (que ya hemos visto $S^1\vee S^1$ no puede tener), pero nuestro espacio debe ser también un colector. Sin embargo, $S^1\vee S^1$ no lo es. De hecho, cualquier vecindad abierta del punto de intersección en $S^1\vee S^1$ es homeomorfo a un espacio que se parece a un espacio abierto $+$ signo, que no es homeomorfo a $\mathbb R$ . Podemos ver esto porque $\mathbb R\backslash \{x\}$ tiene dos componentes conectadas para cualquier punto $x\in\mathbb{R}$ mientras que si $U$ es cualquier vecindad del punto de intersección $*$ de $S^1\vee S^1$ entonces $U\backslash \{*\}$ tiene cuatro componentes conectados.