Dejemos que $$\log_3(x-2) = 6 - x$$ Es obvio, dibujando las gráficas de las dos funciones, que la única solución es $x=5$ . Pero esto no es realmente una prueba, sino una observación.
¿Cómo se demuestra algebraicamente?
Podemos resolver esta ecuación para $x$ en forma cerrada como sigue.
Escribe $\log_3 (x-2)=6-x$ como $\frac{\log (x-2)}{\log 3}=6-x$ . Entonces tenemos
$$x-2=e^{\log 3[4-(x-2)]}=3^4e^{-(\log 3)\,(x-2)}\tag 1$$
Así, multiplicando $(1)$ por $\log 3$ y reordenando los términos se obtiene
$$(\log 3)(x-2)e^{(\log 3)(x-2)}=3^4\,\log 3$$
Recordando que Función W de Lambert se define como $z=W(z)e^{W(z)}$ da
$$\begin{align} x&=2+\frac{W(3^4\,\log 3)}{\log 3}\\\\ &=2+3 \\\\ &=5 \end{align}$$
¡como se iba a mostrar!
NOTA:
Para demostrar que $W(3^4\log 3)=3\log 3$ utilizamos la interesante propiedad de la función W de que cuando $W(z)=x\log x$ , $z=x^{x+1}\log x$ . Así que, aquí tomamos $x=3$ y observe que $W(3^4\log 3)=3\log 3$ ... ¡como se esperaba!
@rayhunter La función W tiene la interesante propiedad de que cuando $W(z)=x\log x$ entonces $z=x^{x+1}\log x$ . Así que, toma $x=3$ y observe que $W(3^4\log 3)=3\log 3$ .
Encontrar la solución $x=5$ es sólo una cuestión de suerte, de prueba y error, de métodos de aproximación o simplemente de observación.
Supongo que lo que busca es demostrar que no hay más soluciones. Sólo hay que tener en cuenta que la función $$f(x)=\log_3(x-2)$$ es estrictamente creciente y la función $$g(x)=6-x$$ es estrictamente decreciente. Por lo tanto,
$$f(x)<1<g(x)$$ para $2<x<5$ y $$g(x)<1<f(x)$$ para $x>5$ .
Desgraciadamente, no hay una forma sencilla de demostrarlo algebraicamente.
Sabemos por la inspección que $x=5$ es una solución ya que $$\log_3(5-2)=\log_3(3) = 1 = 6-5.$$
Con un poco de cálculo, se puede demostrar que estos no se cruzarían de nuevo. Para ello se utiliza el llamado Teorema de Rolle.
Dejemos que $f(x) = \log_3(x-2) - 6 + x$ . Si $y$ satisface su ecuación, entonces $f(y)=0$ .
Sabemos que $f(5)=0$ por ejemplo.
El Teorema de Rolle dice que si hay otra solución $y$ , entonces hay un punto $\xi$ en el intervalo $[5,y]$ (estamos asumiendo $y>5$ aquí, pero el mismo argumento funciona para $y<5$ ) para el que $f'(\xi)=0$ .
Sin embargo, $f'(x) = \frac{1}{(x-2)\ln(3)} + 1 = \frac{1+(x-2)\ln(3)}{(x-2)\ln(3)}$ lo que significa $1+(\xi-2)\ln(3) =0$ o $\xi =2-\ln(3)^{-1}$ . Esto está fuera del ámbito de $\log_3(x-2)$ , lo cual es una contradicción.
Por lo tanto, la única solución es $x=5$ .
No es así: salvo en algunos casos especiales, las ecuaciones que implican logaritmos, exponenciales o funciones trigonométricas (por nombrar algunas) no tienen soluciones algebraicas. Puedes demostrarlo analíticamente mostrando que el LHS es estrictamente creciente con un cero en $x = 3$ mientras que el lado derecho es estrictamente decreciente y positivo en $x = 3$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
¿Has oído hablar de la función W de Lambert. Podemos encontrar una forma cerrada para $x$ en términos de $W$ y evaluar directamente para demostrar que $x=5$ ¡! Está muy bien.