Puede alguien dar una referencia (o explicar aquí), ¿por qué el grupo $[\Sigma\Sigma X,Y]_*$ es conmutativo? ¿Cómo se relaciona con el hecho de que $\Sigma X$ es un espacio de co-H?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta no es mi área de especialización, por lo que esta es una idea aproximada de por qué $[\Sigma\Sigma X, Y]_{\ast}$ es un conmutativa grupo.
Primero de todo, $\Sigma$ que queda adjunto a$\Omega$$[\Sigma\Sigma X, Y]_{\ast} \cong [\Sigma X, \Omega Y]_{\ast}$. Ahora $\Sigma X$ es un cogroup objeto en $\mathsf{hTop}_{\ast}$ (que es incluso más fuerte que la de ser un co-H-espacio) y $\Omega Y$ es un grupo de objetos en $\mathsf{hTop}_{\ast}$, lo $[\Sigma X, \Omega Y]_{\ast}$ tiene dos naturales de las estructuras de grupo. A continuación, debe seguir a partir de la Eckmann-Hilton argumento de que el grupo dos estructuras que coinciden y que el grupo abelian.
Puede que le da un bosquejo de una manera más directa la prueba de que no utilizar cualquier tipo de lenguaje en un lexema al final del Capítulo $8$ sección $2$ de Un breve Curso de Topología Algebraica.
Este hecho puede ser utilizado para demostrar que la mayor homotopy grupos abelian: para $n \geq 2$,
$$\pi_n(Y) = [S^n, Y]_{\ast} = [\Sigma\Sigma S^{n-2}, Y]_*$$
por lo $\pi_n(Y)$ es abelian.
