Esto puede hacerse con un 556 temporizador IC (doble 555 en un solo paquete), o dos ICs 555.
Utilice el primer "555" del 556 (o un 555 individual) en una configuración de multivibrador biestable, como se describe de forma sencilla en este artículo y este otro .
En lugar de utilizar la salida para conducir el LED como se muestra, aliméntala al pin RST del segundo 555, que normalmente estaría conectado a la vía de alimentación. Configura el segundo 555 como un multivibrador astable para hacer parpadear su LED:
Cada vez que se pulse el pulsador, el pin de salida del primer multivibrador cambiará de estado, y la salida parpadeante del segundo multivibrador se iniciará o se detendrá. No se necesitan microcontroladores.
Me da pereza dibujar un esquema combinado, pero lo anterior debería servir.