¿Podemos dividir dos vectores?

Question

¿Podemos dividir dos cantidades vectoriales? Por ejemplo, la presión (un escalar) es igual a la fuerza (un vector) dividida por el área (un vector).

Answer 1

En general, no se puede dividir un vector por otro. Es posible demostrar que ninguna multiplicación de vectores en tres dimensiones será lo suficientemente comportada como para tener división tal y como la entendemos. (Esto depende de a qué se refiera exactamente uno con 'lo suficientemente comportada', pero el resultado principal aquí es el teorema de Hurwitz.)

En cuanto a la fuerza, el área y la presión, la forma más fructífera es decir que la fuerza es el producto del área por la presión: $$ \vec F=P\cdot \vec A. $$ Resulta que la presión en realidad no es un escalar sino una matriz (o, más técnicamente, un tensor de rango 2). Esto se debe a que, en ciertas situaciones, un área con su vector normal apuntando en la dirección $z$ también puede experimentar fuerzas a lo largo de $x$ y $y$, las cuales se llaman tensiones de corte. En este caso, la relación lineal correcta es que $$ \begin{pmatrix}F_x\\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p_x & s_{xy} & s_{xz} \\ s_{yx} & p_y & s_{yz} \\ s_{zx} & s_{zy} & p_z\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_x\\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}. $$ En un fluido, las tensiones de corte son nulas y la presión es isotrópica, por lo que todos los $p_j$s son iguales, y por lo tanto el tensor de presión $P$ es una matriz escalar. En un sólido, en cambio, las tensiones de corte pueden ocurrir incluso en situaciones estáticas, por lo que se necesita la matriz completa. En este caso, la matriz se conoce como el tensor de tensiones del sólido.

Answer 2

Como aparte, en realidad puedes dividir dos vectores. La única pregunta es cómo quieres interpretar los objetos y, más importante aún, la operación.

Por ejemplo, puedes mapear los vectores a un objeto en un espacio de cuaterniones de forma bastante simple como:

$$ \phi:V \rightarrow H: \vec{v} \mapsto (0,\vec{v}) , $$

y entonces la división está bien definida. Pero tu respuesta será, en general, bastante obviamente, un cuaternión general $(r,\vec{u})$, y luego necesitas una interpretación física para esto.

En los detalles de tu pregunta, ves, los objetos y la operación están fijados por la naturaleza. Fuerza y área son vectores relacionados por un tensor llamado presión como:

$$ \vec{F} = P \vec{A}, $$

donde la operación de $P$ en $\vec{A}$ está definida como la acción tensorial. En esta configuración no hay una manera única de definir la división de dos vectores para producir un tensor: la definición de la operación no admite una inversa sensata.

Answer 3

Para definir la división de vectores como el resultado escalar de un vector "dividido" por otro, donde el escalar multiplicado por el vector denominador nos daría el vector numerador, podemos escribir lo siguiente: \begin{align*} \vec u&=w\vec v\\ \vec u\cdot\vec v&=w\vec v\cdot\vec v\\ \therefore w&=\frac{\vec u\cdot\vec v}{v^2} \end{align*}

Las matemáticas para un cociente escalar funcionan. Esa es una forma de dividir un vector

Answer 4

Depende del contexto. La división suele definirse como la inversa de la multiplicación. Si

$$x\cdot\vec{v}=\vec{u}$$

entonces, si hay solo un $x$ que satisface la relación anterior, se puede decir que $x=\frac{\vec{u}}{\vec{v}$}.

El $x$ aquí puede ser un escalar (por lo que se multiplicó un vector por un escalar) y solo tiene sentido si consideras vectores que apuntan en la misma dirección.

$x$ podría ser una matriz y otras respuestas han mostrado casos donde la matriz no es única.

$x$ también podría ser un vector y se podría considerar el producto punto o el producto cruz. Nuevamente, hay casos en los que esto funciona y otros en los que no.

Por lo tanto, no se puede dividir por cualquier cosa, puede haber algunas divisiones que no pueden definirse, pero está bien - no se puede dividir por cero en los números reales tampoco. Solo tienes que entender lo que estás haciendo y si la inversa es única y si es definible en absoluto. Hay casos en los que la división de vectores tiene sentido y es útil.

Por ejemplo, consideremos la fuerza de Lorentz sobre una carga que se mueve en un campo magnético. $$\vec{F}=q \vec{v}\times\vec{B}$$

Si puedes medir la fuerza y una de las cantidades en el lado derecho, la otra es la división (sin embargo, ten cuidado si es la inversa del lado derecho o la multiplicación del lado izquierdo :)) de la fuerza y la cantidad medida en el lado derecho.

Podría ser escrito como $$\vec{v}=\frac{\vec{F}}{\vec{B}}(izquierda)$$ donde "izquierda" y "derecha" es una cuestión de convención.

Sin embargo, como señaló Jerry, la solución no es única.

Entonces, siempre que puedas multiplicar, puedes verificar si existe una inversa. Hay casos en los que no hay una inversa única, pero si la hay, puedes llamarla la división. Los vectores no están totalmente en un lado u otro, generalmente puedes encontrar un conjunto de vectores para los cuales cierta división tiene sentido.

Answer 5

Según la página de Wolfram Mathworld

En general, no hay una solución de matriz única para la ecuación de matriz, $$\mathbf y=\mathbb A\mathbf x$$

A continuación se da un ejemplo para $\mathbf y=2\mathbf x=(2,4)$ en el que hay 3 soluciones diferentes.