Propiedad de invariancia de la MLE: ¿cuál es la MLE de $\theta^2$ de la normalidad, $\bar{X}^2$ ?

Question

Propiedad de invariancia de la MLE: si $\hat{\theta}$ es la MLE de $\theta$ entonces para cualquier función $f(\theta)$ el MLE de $f(\theta)$ es $f(\hat{\theta})$ .

También, $f$ debe ser una función uno a uno.

El libro dice: "Por ejemplo, para estimar ${\theta}^2$ el cuadrado de una media normal, el mapeo no es uno a uno". Por lo tanto, no podemos utilizar la propiedad de invarianza.

Pero entonces, demuestra la propiedad y dice: "ahora vemos que la MLE de $\theta^2$ el cuadrado de una media normal es $\bar{x}^2$ ".

Esto parece autocontradictorio, estamos cuadrando $\bar{x}$ pero el cuadrado de cualquier cosa no es uno a uno, ¿qué estoy leyendo mal aquí? Gracias.

fuente: Casella & Berger "Inferencia estadística"

Answer 1

Eso no es exactamente lo que dicen Casella y Berger. Reconocen (página 319) que cuando la transformación es uno a uno el prueba de la propiedad de invariancia es muy simple. Pero luego extienden la propiedad de invariancia a transformaciones arbitrarias de los parámetros introduciendo un función de probabilidad inducida en la página 320. El teorema 7.2.10 de la misma página ofrece la prueba de la propiedad extendida. Por lo tanto, no hay contradicción aquí.

Answer 2

De la página 350 de "Probabilidad e inferencia estadística" :

(Nota: Este teorema se encuentra en la página 320 y está etiquetado como 7.2.10 en la segunda edición).