Si $f = u + iv$ está completo y $|u(z)| > |v(z)|$ para todos $z$ es $f$ ¿constante?
¿Cuál es una buena manera de abordar este problema?
Tal vez quiera utilizar el teorema de Liouville, por lo que necesito demostrar que $f(z)$ está acotado.
Sin embargo, no veo cómo demostrar esto a partir de la suposición.
$f=u+iv$ mapas $\mathbb {C}$ en $\{x+iy: |y|< |x|\}.$ Este último conjunto no se cruza con el $y$ -eje. Porque $f(\mathbb {C})$ es conectado, debe ser un subconjunto del semiplano abierto derecho o izquierdo. Existe una biyección holomorfa $g$ de ese semiplano al disco de la unidad abierta. Así, $g\circ f$ es entero y acotado, por lo que debe ser constante. Por tanto, $f$ es constante.
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¿Qué puede decir sobre $\exp(i \log (i f(z)))$ ? ( $if(z)$ evita la línea real, por lo que la rama analítica estándar de $\log$ se define en su rango)
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@ronno: No estoy seguro. ¿Puedes demostrarlo?