¿La derivada es un límite real?

Question

En mis clases, la derivada se define como "el límite de la fracción incremental de la relación". Pero he encontrado otra manera de definir la derivada de un viejo libro de Gardner & Thompson "Cálculo Fácil". Por ejemplo, si tenemos $f(x) = x^2$ y queremos calcular la derivada:

$$ f(x) = x^2 $$

Tan nuestro y es

$$ y = x^2 $$

Ahora mismo sólo estamos considerando el incremento de y y x, de forma que podemos calcular que de esta manera:

$$ y+dy = (x+dx)^2 $$ $$ y+dy = x^2+dx^2+2xdx $$

Me puede quitar $$ dx^2 $$ porque es una cantidad muy pequeña relacionados con nuestra magnitud.

El resultado es

$$ y+dy = x^2+2xdx $$

Me reste la cantidad original $$ y+dy-y=x^2+2xdx-x^2 $$ $$ dy=2xdx $$ $$ dy/dx=2x $$

La derivada es igual a $$2x$$ y yo calculo que sin el uso de ningún tipo de límites. Entonces, mi pregunta es: la derivada es un límite real? ¿Qué acerca de los órdenes de magnitud? Un límite es la representación de un valor relacionado a nuestra magnitud?

Answer 1

Eso es exactamente lo que los límites son acerca de: ¿qué sucede cuando h (o dx, o como se la quiera llamar) es muy pequeña.

Más precisamente, cabe recordar que la $\lim f(h)=a$ fib $f(h)=a+o(1)$ (poco-o notación); por lo $\lim\frac{f(x+h)-f(x)}h=a$ fib $\frac{f(x+h)-f(x)}h=a+o(1)$ o, equivalentemente, iff $f(x+h)=f(x)+ah+o(h)$. La última afirmación es sólo manera más formal a decir que $f(x+h)$ es igual a $f(x)+ah$ "hasta la próxima órdenes de magnitud".

Este punto de vista de la suya es, en realidad, no sólo es más natural, pero también más fácil de generalizar (en el sentido de, por ejemplo, cálculo multivariable).

Answer 2

Usted realmente está haciendo exactamente la limitación del proceso, sólo que está un poco escondido. Si usted mantener ese $dx^2$ plazo un poco más de tiempo, obtenemos $$ dy = 2x dx + dx^2 $$ y así $$ \frac{dy}{dx} = 2x + dx. $$ Tomando "$dx^2$ a ser pequeñas" cantidades a la configuración de $dx=0$ en el lado derecho de la última ecuación. Ahora vamos a comparar esto con la habitual limitación de método: $$ \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$$ $$ = \lim_{h\to 0} \frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}$$ $$ = \lim_{h\to 0} \frac{2hx+h^2}{h} $$ $$ = \lim_{h\to 0} (2x+h).$$ En la última expresión podemos enchufe $h=0$ a que el derivado de la $x^2$$2x$.

Hemos de llegar a la exacta misma expresión (excepto que en lugar de una $dx$ tenemos una $h$) en los que queremos configurar nuestro pequeño incremento a $0$.

En general, muchos de los límites puede ser evaluado por simplifiying algebraicamente y luego sólo tienes que conectar en el punto que usted está mirando. Cuando usted está tomando el límite cuando algo llega a cero, muchas veces el "enchufar" la parte se reduce a "esto se pone muy pequeña, así que vamos a ignorar".