En$ M_n(\mathbb{C}) $, si dos matrices conmutan, entonces la exponencial de su suma es el producto de sus exponenciales. Esta propiedad me invitó a reflexionar sobre las matrices$ A $ para las cuales$ \exp(A+B) = \exp(A)\exp(B) $ es verdadero para todas las matrices complejas$ B $. Me gustaría mostrar que tales matrices son escalares (proporcionales a$ I_n $). ¿Qué pasa si$ \mathbb{C} $ es reemplazado por$ \mathbb{R} $?
Respuesta
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Deje $R$ denotar el anillo de $\text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{C})$ con identidad aditiva $0_R$. De la propiedad de $A$, tenemos $$\exp(-B)=\exp\big(A+(-A-B)\big)=\exp(A)\,\exp(-A-B)$$ para cada $B\in R$. Es decir, $$\exp(-A-B)=\exp(-A)\,\exp(-B)\,,$$ así $$1_G=\exp(A+B)\,\exp(-A-B)=\exp(A)\,\exp(B)\,\exp(-A)\,\exp(-B)$$ para todos los $B\in R$. Aquí, $G$ es el grupo $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ con identidad $1_G$. Es decir, $\exp(A)$ está en el centro de la $G$, lo que significa que $\exp(A)$ es una matriz escalar. En consecuencia, $A$ es una matriz escalar.
Alternativamente, de $\exp(A)\,\exp(tB)\,\exp(-A)\,\exp(-tB)=1_G$ todos los $B\in R$$t\in\mathbb{R}$, tenemos $$0_R=\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right|_{t=0}\,\exp(A)\,\exp(tB)\,\exp(-A)\,\exp(-tB)=\exp(A)\,B\,\exp(-A)-B\,,$$ de modo que $\exp(A)$ está en el centro de la $R$. De nuevo, esto implica inmediatamente que $\exp(A)$ es un escalar matriz, por lo $A$ es una matriz escalar.
EDIT: Debido a los comentarios de abajo, la declaración de que, si $\exp(A)$ es un escalar matriz, a continuación, $A$ es una matriz escalar es falso. Sin embargo, podemos deducir que, en alguna base, $A$ es de la forma $kI+J$ donde $k$ es un complejo constante, $I\in R$ es la matriz de identidad (bueno, $I=1_G$), y $J \in R$ es una matriz diagonal con las entradas de la diagonal de la forma $2\pi r \text{i}$ donde $r\in\mathbb{Z}$. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $k=0$.
Si hay dos diagonales términos de $J$ que no son iguales, entonces podemos asumir que $A=J$ $2$a$2$ y toma la forma $$A=\begin{bmatrix}2\pi p\text{i} &0\\0&2\pi q\text{i}\end{bmatrix}\,,$$ donde $p$ $q$ son distintos números enteros. En base a esto, tome $B$ a ser el nilpotent matriz $$B=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\,,$$ así que $$\exp(A+B)=I\text{ but }\exp(A)\,\exp(B)=I+B\neq I\,.$$ Esto es una contradicción, por lo que todas las entradas de la diagonal de a $J$ son iguales, y la afirmación de la siguiente manera.
