Distinguir con la regla del producto

Question

Pregunta: distinguir $x(x^2 +3x)^3$

He conseguido al punto donde he usado la regla del producto y he conseguido

$$(x^2 + 3x)^3 + x\cdot(3x+9)(x^2 + 3x)^2$$

pero ahora que se trata de la simplificación im completamente en una pérdida, cualquier ayuda sería muy apreciada

Answer 1

Utilizar el $\color{red}{\text{product rule}}$ y $\color{blue}{\text{chain rule}}$ % $ $$\begin{array}{rcl}(x(x^2+3x)^3)' &\color{red}{=}& x'\cdot (x^2+3x)^3+((x^2+3x)^3)'\cdot x \ &\color{blue}{=}& (x^2+3x)^3+x(3(x^2+3x)^2\cdot (x^2+3x)') \ &=& (x^2+3x)^3+x(3(x^2+3x)^2(2x+3))\ &=& (x^2+3x)^3+3x(x^2+3x)^2(2x+3)\ &=&x^3 (x+3)^2 (7 x+12) \end{array}$

Answer 2

Usando la regla de producto no es suficiente.

$$(x(x^2 + 3x)^3)^\prime = (x)^\prime \cdot (x^2 + 3x)^3 + x \cdot ((x^2 + 3x)^3)^\prime$$ $$= (x^2 + 3x)^3 + x \cdot ((x^2 + 3x)^3)^\prime$$

Para la parte derecha usted necesita utilizar la regla de la cadena.

$$= (x^2 + 3x)^3 + x \cdot 3(x^2 + 3x)^2\cdot(x^2+3x)^\prime$$ $$= (x^2 + 3x)^3 + x \cdot 3(x^2 + 3x)^2\cdot(2x+3)$$

Ahora usted puede simplificar el resultado: $$= (x^2 + 3x)^2 \cdot \left((x^2 + 3x) + x \cdot 3\cdot(2x+3)\right)$ $ $$= (x^2 + 3x)^2 \cdot \left(x^2 + 3x + 6x^2 + 9x\right)$ $ $$= (x^2 + 3x)^2 \cdot \left(7x^2 + 12x\right)$ $

Answer 3

Tenga en cuenta que el producto de la regla se define como \[ \frac{d}{dx}[f(x)\cdot g(x)]=f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]+g(x)\frac{d}{dx}[f(x)] \] Y la regla de la cadena se define como \[ f(x)=g(h(x)) \] \[ \frac{d}{dx}[f(x)]=\frac{d}{dx}[g(h(x))] \frac{d}{dx}[h(x)] \] Así que ahora aquí están los pasos \[ \frac{d}{dx}\left[x(x^{2}+3x)^{3}\right]=\frac{d}{dx}\left[x^{4}(x+3)^{3}\right] =x^{4}\frac{d}{dx}\left[(x+3)^{3}\right]+(x+3)^{3}\frac{d}{dx}\left[x^{4}\right] \] \[ =3x^{4}(x+3)^{2}\frac{d}{dx}[x+3]+4x^{3}(x+3)^{3}=3x^{4}(x+3)^{2}+4x^{3}(x+3)^{3} \] \[ =x^{3}(x+3)^{2}(3x+4x+12)=x^{3}(x+3)^{2}(7x+12) \]