¿Qué es

Question

<blockquote> <p>$$\int_0^{\pi/2}(\cos^{10}x )(\sin 12x )dx$$</p> </blockquote> <p>Soy incapaz de averiguar el truco que esta pregunta me espera usar. No una simple pregunta de las partes.</p> <p>Si indica la integral entonces I es también igual a $\int_0 ^{\pi/2}(\sin^{10}x) (\cos 12 x)dx$</p> <p>Sumando los dos que tiene, no ceder nada en especial.</p> <p>¿Cómo hago para solucionar este problema? ¿Cuál es el truco para reconocer inmediatamente el método de que las preguntas de integración esperan usar?</p>

Answer 1

Sugerencia: el integrando puede ser escrito como $$ \begin{align} & ={{\cos }^{10}}\left( x \right)\sin \left( 11x+x \right) \ & ={{\cos }^{10}}\left( x \right)\left( \sin \left( 11x \right)\cos \left( x \right)+\cos \left( 11x \right)\sin \left( x \right) \right) \ & ={{\cos }^{11}}\left( x \right)\sin \left( 11x \right)+{{\cos }^{10}}\left( x \right)\cos \left( 11x \right)\sin \left( x \right) \ & =-\frac{1}{11}\frac{d}{dx}\left[ {{\cos }^{11}}\left( x \right)\cos \left( 11x \right) \right] \ \end{Alinee el} $$

Answer 2

Sugiero reescribir esto con exponenciales usando fórmula de Euler; luego basta multiplicar hacia fuera y trivial integrar los exponentes. Tal vez no es la manera más elegante de hacerlo, pero es sencillo. El Teorema del binomio hace la mayor parte de la labor de multiplicar hacia fuera para usted.

Answer 3

Sugerencia:\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}(\cos^{11}x \cos(11x)) =-11\cos^{10} x \sin x \cos(11 x) - 11 \cos^{11} x \sin(11x). \end{eqnarray } ahora utilizar la fórmula de adición de $\sin$.

Answer 4

Pista: $$\begin{align} \sin x\sin y &= \dfrac12(\cos(y - x) - \cos(y + x)) \ \cos x\cos y &= \dfrac12(\cos(y + x) - \cos(y - x)) \ \sin x\cos y &= \dfrac12(\sin(y + x) - \sin(y - x)) \end {Alinee el} $$

Además, $$ \begin{align} \cos^{10}x\sin 12x &= (\cos^2x)^5\sin 12x \ &= \left(\dfrac12(\cos 2x + 1)\right)^5\sin 12x \ &= \dfrac1{32}\left(\cos^52x + 5\cos^42x + 10\cos^32x + 10\cos^2x + 5\cos 2x + 1\right)\sin 12x \end{alinee el} $ y así sucesivamente. Utilizando las fórmulas de producto a suma arriba y linealidad, debe ser capaz de resolver la integral.

Answer 5

La solución es en una palabra: linearise la expresión, a partir de formulæ de Euler. ¿Aquí es cómo comenzar:\begin{align} \cos^{10}x\,\sin 12 x&=\Bigl(\frac{\mathrm e^{ix}+\mathrm e^{-ix}}{2}\Bigr)^{!10}\,\frac{\mathrm e^{12ix}+\mathrm e^{-12ix}}{2i}\ &=\frac{\mathrm e^{10ix}+10\mathrm e^{8ix}+45\mathrm e^{6ix}+\dotsm}{2^{10}}\cdot\frac{\mathrm e^{12ix}+\mathrm e^{-12ix}}{2i} \end{align} puede proceder?