Diferencias en la homología/cohomología de un par CW (X,A) cuando A está vacío frente a un punto

Question

Estoy trabajando con Hatcher, y él está probando la Fórmula Kunneth. En un momento dado afirma que todo lo que se necesita es demostrar que la naturalidad es verdadera en el caso del par (X,A) teniendo A vacío lo implica para que A sea un único punto.

Así que mi pregunta no se refiere a esto, sino a la pregunta del título.

Siento que debo estar malinterpretando algo porque quiero decir que su debe ser una identificación natural de los dos porque puedo llegar a un argumento que muestra (al menos en el caso de los pares CW) que son isomorfos:

Los grupos de homología deben ser idénticos porque (X,A) es un buen par y los cocientes son homeomorfos. Los grupos de cohomología deben ser idénticos debido al Teorema del Coeficiente Universal.

¿Hay algo que se me escapa? ¿Este isomorfismo fácil no dice nada sobre la naturalidad de la que habla Hatcher?

Answer 1

La definición de Hatcher de un "buen par" $(X,A)$ requiere $A$ sea no vacía (ver página 114). En efecto, el teorema de que la homología de $(X,A)$ es isomorfo a la homología reducida de $X/A$ no es cierto cuando $A=\emptyset$ . Siguiendo la Proposición 2.22 de Hatcher, seguimos teniendo un isomorfismo $H_n(X,A)\cong H_n(X/A,A/A)$ pero no tenemos $H_n(X/A,A/A)\cong \tilde{H}_n(X/A)$ porque $A/A$ está vacío en lugar de ser un punto único.

(En realidad, hay una forma de hacer que todos los teoremas sigan funcionando cuando $A$ está vacío, pero requiere redefinir $X/A$ . La definición correcta de $X/A$ cuando $A$ podría estar vacío es el cociente de $X\sqcup\{*\}$ que identifica cada punto de $A$ con el nuevo punto adyacente $*$ . Cuando $A$ es no vacía, esto es lo mismo que el cociente habitual de $X$ que identifica todos los puntos de $A$ juntos, pero cuando $A$ está vacío da $X\sqcup\{*\}$ donde el conjunto vacío $A$ se ha convertido en un nuevo punto. Lo que realmente ocurre es que la operación de envío de $(X,A)$ a $X/A$ es más natural cuando $X$ es un puntiagudo espacio, por lo que si $X$ es sólo un espacio, debe convertirlo libremente en un espacio punteado antes de formar $X/A$ . O, para una mejor explicación, véase la respuesta de Paul Frost).

Answer 2

La homología relativa de $(X,\varnothing)$ es sólo la de $X$ . Pero la homología relativa de $(X,\ast)$ es la homología reducida, ya que proviene de la secuencia exacta

$$0\to C(\ast)\to C(X) \to C(X,\ast)\to 0$$

y $C(\ast)$ es el complejo donde $\mathbb Z$ se concentra en el grado $0$ .

Answer 3

Esto no es una respuesta, sino un comentario ampliado a la respuesta de Eric Wofsey. Dejemos que $\mathbf T_0$ y $\mathbf T^2$ denotan las categorías de espacios puntuales y pares de espacios, respectivamente. Existe una incrustación canónica de las categorías $$i : \mathbf T_0 \to \mathbf T^2, i(X,x_0) = (X, \{ x_0 \})$$ que simplemente interpreta cada espacio apuntado como un par de espacios. Tiene un functor adjunto derecho $$Q : \mathbf T^2 \to \mathbf T_0$$ que viene dado por $Q(X,A) = (X/A,*)$ para $A \ne \emptyset$ y $Q(X,\emptyset) = (X^+,+)$ donde $X^+ = X \cup \{ + \}$ con un punto $+ \notin X$ . De hecho, el espacio $Q(X,A)$ se produce como el empuje $\require{AMScd}$ \begin{CD} \{ + \} @>{J}>> Q(X,A)\\ @AAA @AAA\\ A @>{j}>> X\end{CD} donde $j : A \to X$ denota inclusión y $J(+)$ se toma como punto base de $Q(X,A)$ .

Así, $X/\emptyset = X^+$ no es un definición ad hoc sino que es una consecuencia de la contigüidad derecha.

Para las parejas no buenas, véase mi respuesta a La homología relativa es la homología reducida del cociente .