Demostrar que $Tf(x)=\int^{1-x}_0 f(t) \, dt$ es compacta y calcular su espectro.

Question

Demostrar que $T:C^0([0,1])\longrightarrow C^0([0,1])$ define como $$Tf(x)=\int^{1-x}_0 f(t) \, dt$$ es compacto y calcular su espectro.

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- Compacidad:

Deje $f_n$ ser un almacén de secuencia, que es $\|f_n\|_\infty\leq C\,\,\forall\,n$. Con el fin de demostrar que el $Tf_n$ tiene un convergentes larga se demuestra que es limitado y equicontinuous. Es fácil ver que $T$ es continuo, $Tf_n$ está acotada. Deje $\varepsilon >0$$x_1, \,x_2 \in [0,\,1]$, luego $$|Tf_n(x_1)-Tf_n(x_2)|\leq \|f\|_\infty | x_1-x_2| \leq C | x_1-x_2|.$$ Si elegimos $\delta=\varepsilon/C$ $| x_1-x_2| < \delta$ $$|Tf_n(x_1)-Tf_n(x_2)|< \varepsilon, \quad \forall \, n.$$

- Espectro:

Desde $T$ es compacto no es invertible. A continuación,$0\in \sigma (T)$. Ahora tengo algunas preguntas:

• Yo sé que para compacto de operadores de Hilbert espacios si $\lambda\in \sigma(T),\,\lambda\neq0$ $\lambda\in \sigma_p(T)$ $\sigma_p(T)$ es finito o contable y $0$ es el único punto de acumulación de a $\sigma_p(T)$. La prueba de que he visto de este hecho se basa en la Alternativa de Fredholm Teorema (que sólo sé para espacios de Hilbert). Así que me pregunto si esta propiedad es true si el operater se define en un espacio de Banach. Si es cierto, entonces el ejercicio es más sencillo.

• Traté de calcular $\sigma_p$, pero he tenido algún problema. Aquí algunos intentos. Estamos interesados en solucionar $$ Tf(x)=\int^{1-x}_0 f(t) \, dt=\lambda f(x) $$ Desde $f\in C^0$ tenemos $Tf\in C^1$ $\lambda f\in C^1$ a continuación, $$ -f(1-x)=\lambda f'(x) $$ Y ahora ? No es posible resolver por separación de variables. ¿Cómo proceder?

Gracias.

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ACTUALIZACIÓN: he consultado Conway libro Un Curso en Análisis Funcional y he comprobado que las propiedades del espectro de un operador compacto que he mencionado anteriormente son también válidas en el caso de espacios de Banach (Teorema 7.1). Por lo tanto, es suficiente para calcular los $\sigma_p(T)$ y comprender si $\,0\in \sigma_c(T)\, $ o $\,0\in \sigma_r(T)$ o $\,0\in \sigma_p(T)$.

Answer 1

Ya hemos establecido que $0 \in \sigma(A) \setminus \sigma_p(A)$.

Asumir $Tf = \lambda f$. Luego también $T^2f = \lambda^2f$.

Tenemos

$$\lambda^2f(x) = (T^2f)(x) = \int_0^{1-x}\int_0^{1-s} f(t)\,dt\,ds$$

Tomando el derivado da:

$$\lambda^2 f'(x) = -\int_0^{1-x}f(t)\,dt$$

$$\lambda^2 f''(x) = f(1-x) = -\lambda f'(x)$$

así que $$f''(x) = -\frac1{\lambda} f'(x)$$ This gives $f'(x) = Ce^{-\frac{x}\lambda}$ and then $f(x) = - \lambda C e ^ {-\lambda \frac {x}} + D$.

Ahora Observe que tiene que ser $f(1) = 0$ % que $D = \lambda C$.

Conectar esta parte posterior:

$$-\lambda C e^{-\frac{x}\lambda} = -\lambda f'(x)= f(1-x) = -\lambda C e^{-\frac{1-x}\lambda} + \lambda C$$

¿Puedes calcular $\lambda$ desde aquí?