Parece que tu pregunta puede ser dividido en dos principales líneas de investigación:
Hacer todas las ecuaciones diferenciales (dado algunas inicial/condiciones de contorno) poseen una solución?
Puede un sistema caótico poseen una forma cerrada de la solución?
Las respuestas son no y sí, respectivamente.
Sobre el primer tema, el tipo de los resultados matemáticos que garantiza (o no garantía) las soluciones para la educación a distancia/PDE son llamados teoremas de existencia; un ejemplo famoso es el de Picard-Lindelöf teorema, el cual establece que para algunos la educación a distancia inicial-el problema del valor de la forma
$$\frac{dy}{dt} = f(y,t),\quad y(t_0) = y_0$$
una solución siempre existe y es única en torno a un barrio de el punto de $y_0$ si $f$ es Lipschitz continua.
Eso no quiere decir que no hay una forma cerrada de la versión de la solución, sin embargo; la ecuación diferencial $\frac{dy}{dt} = \sin(xy)$ está garantizado para tener una solución única localmente alrededor de algún valor inicial $y(0) = y_0$, pero nadie ha encontrado una manera de describir en forma cerrada con funciones elementales.
Un ejemplo de un simple ODE sin solución es la siguiente frontera-el problema del valor:
$$\frac{d^2 y}{d t^2} + y = 0,\quad y(0) = 0,\quad y(\pi) = 1$$
Siéntase libre de probar y encontrar una solución; ninguno va a satisfacer esas condiciones (usted puede demostrar que el uso de la alternativa de Fredholm). En definitiva, la existencia es algo que se tiene que probar para un determinado ecuaciones diferenciales problema, y hay todo un sub-campo de las matemáticas dedicada a ella. Uno de los mayores problemas abiertos en matemáticas es prueba de la existencia de determinados tipos de soluciones para una particularmente desagradable conjunto de PDE que se llama las ecuaciones de Navier-Stokes!
En el segundo tema, hay (muy pocos) de los sistemas con la forma cerrada de las soluciones que demuestran el comportamiento caótico, pero sin duda existe; es sólo por lo general el caso de que, debido a que los sistemas son tan sensibles a las condiciones iniciales, las soluciones no son, realmente, muy útil. Por esa razón, los teóricos del caos están mucho más interesados en la búsqueda de cosas como lo que la solución converge para después de un tiempo infinito , o si el tipo de los cambios de la solución después de algunos críticos de cambio en un valor inicial de condición.
Ejemplos de la forma cerrada de soluciones para sistemas caóticos se puede encontrar, por ejemplo, en la logística mapa:
$$x_{n+1} = r x_{n} (1 - x_{n})$$
donde $r$ es una constante. Al $r = 4$, por lo que encontrar una forma cerrada de solución para $x_n$:
$$x_n = \sin^2(2^{n}\theta\pi),\quad \theta = \frac{1}{\pi} \sin^{-1} (\sqrt{x_0})$$
Usted también puede encontrar una forma cerrada de solución al $r = 2$, pero no hay forma cerrada de soluciones para general $r$, que es lo que esperan en sistemas caóticos. (Si usted podría conseguir una solución para todos los casos, no hay realmente nada que no se puede predecir, que es precisamente la seña de identidad del caos.)
Si realmente quería, una forma de generar una "forma cerrada" solución de un sistema caótico, definida sobre algún intervalo finito con el cuadrado integrable soluciones es crear una serie de Fourier generalizada que un aproximado arbitraria de la exactitud; pero que, básicamente, hacer trampa y no es muy instructivo (a veces)!
