Punto Fermat de un tetraedro

Question

He aquí un curioso conjunto de vértices para un tetraedro: {{-22, -25, 4}, {-12, 15, -6}, {8, 5, -6}, {18, -15, 24}}

El punto de Fermat de un tetraedro minimiza las distancias totales del punto a los vértices . Existe un método general para encontrar el Punto de Fermat de los polígonos utilizando el algoritmo de Weiszfeld.

Las seis longitudes de las aristas de este tetraedro son diferentes. El punto de Fermat está en el origen.

Encuentra un segundo tetraedro con seis longitudes de arista diferentes, coordenadas enteras alejadas del origen y un punto de Fermat en el origen. El segundo tetraedro no debe ser una variación del primer tetraedro.

Para otros miles de tetraedros de vértices enteros de bordes diferentes que he mirado, el punto de Fermat requiere las raíces algebraicas de tres polinomios sexta a octa. Y luego está esta solución entera.

Para un triángulo, la proyección de los vértices sobre un círculo centrado en el punto de Fermat divide el círculo en 3 arcos iguales.

Para un tetraedro, una proyección de los vértices sobre una esfera centrada en el punto de Fermat divide la esfera en 4 triángulos esféricos iguales. (¿Se sabe esto?)

Incentro - pequeña esfera cerca de Fermat
Centroide - verde {-2, -5, 4}
Circuncentro - cian {-(33/4), -(5/2), 71/4}
Doce puntos - amarillo {1/12, -(35/6), -(7/12)}
Symmedian - rosa {42/89, 315/89, -(144/89)}
Fermat - rojo {0,0,0}
Monge - magenta {17/4, -(15/2), -(39/4)}

Este diagrama hecho con el código de Centros de tetraedro

Answer 1

Cualquier tetraedro funciona con vértices de la siguiente forma:

$(a,a,a)$

$(b,-b,-b)$

$(-c,c,-c)$

$(-d,-d,d)$

con $a,b,c,d$ todos del mismo signo. Los "radios" desde el origen hasta cada vértice forman "ángulos tetraédricos" entre sí, haciendo del origen el punto de Fermat. Si necesitamos soluciones enteras, podemos, por supuesto, exigir $a,b,c,d$ para que sean cantidades apropiadas con el mismo signo y aplicar una rotación adecuada.

Veamos la solución dada. Imaginemos que el primer vértice es una rotación de $(a,a,a)$ tal y como se ha representado anteriormente. A continuación, $3a^2=22^2+25^2+4^2=1125=9×125$ . Del mismo modo, $b^2=375=3×125, c^2=125, d^2=1125$ . Tenga en cuenta que $a,b,c,d$ no son necesariamente múltiplos racionales entre sí, aunque (al menos aquí) sus cuadrados sí lo son.

Por supuesto, podemos construir soluciones más sencillas que no requieran rotaciones, como $(1,1,1),(2,-2-2),(-3,3,-3),(-4,-4,4)$ .