Así que tengo una prueba de que he escrito de $X\subset Y \Rightarrow f(X)\subset f(Y)$, pero es ligeramente diferente de la presentada en esta pregunta aceptado respuesta.
La diferencia es sutil, así que disculpas si este resulta ser un no-problema. Sin embargo, yo sé--especialmente en las pruebas--que los detalles importan.
Aquí está mi prueba:
Supongamos $X\subset{Y}$
deje $a\in X$
A continuación, $a\in Y$ por la def de $X\subset{Y}$
Definir $b=f(a)$ (!!Seguro de si este es válido paso!!)
A continuación,$b\in f(X)$, por definición, de $f(X)=\left \{ y\in Y\,|\, y=f(x)\, for\, some\,\, x\in Y \right \}$
Similiarly desde $a\in Y$, $b=f(a)$ también nos da la $b\in f(Y)$.
Por lo tanto, $A\subset B \Rightarrow f(A)\subset f(B)$
La aceptación de respuesta en los enlaces de la pregunta que hace la suposición de $b\in f(X)$, mientras que yo uso;
Definir $b=f(a)$
Es mi paso un poco de un supuesto más débil ya que esta se deriva de la hipótesis? o es completamente equivalente?
Para ser claro: yo no estoy disputando la corrección de la prueba en las vinculadas aceptadas respuesta y, en retrospectiva, es más claro que el de mi propia prueba, mi preocupación es si o no mi paso de la definición de $b=f(a)$ fue justificada o no equivalente a la suposición de $b\in f(X)$ utilizado en los enlaces de respuestas de la prueba. Si no por favor explique la hora de definir lo que he hecho es justificado. He visto este movimiento/paso utilizado en las pruebas que yo estudio y no está totalmente claro para mí cuando esto se puede hacer.
Sospecho que la definición de lo que he hecho no es nada más que una suposición, sin embargo, desde la que se echa en términos de los actuales símbolos no puedo sino preguntarme si puede ser más que una suposición y en realidad una tautología (y por lo tanto un verdadero estado de cuenta).
ACTUALIZACIÓN
Sólo para la aclaración de cualquier persona que se topa con este...
El paso
deje $a\in X$
fue el error. Mi prueba de muestra en lugar de que $(x\in X \land X\subset Y) \rightarrow (f(X) \subset f(Y))$ esto es debido a la suposición de $x\in X$ nunca es "dado de alta".
el uso de la suposición de $b\in f(x)$ trabaja para mostrar $f(X)\subset f(Y)$ porque, finalmente, obtener el alta. que conducirá entonces el resultado que se desee $X\subset Y \rightarrow f(X)\subset f(Y)$
