$$A^2+B^2 +AB=36.\\ B^2+C^2+BC=49.\\ C^2+A^2+AC=64.$$ Encuentre $(A+B+C)^2$ .
Lo he intentado utilizando la geometría, es decir, construyendo un triángulo y marcando un punto dentro de él que hace 120 ° y luego utilizando la regla del coseno Pero tengo dificultades para resolver más adelante Por favor, utilice la geometría
Si $A$ , $B$ y $C$ se suponen números reales positivos, entonces consideremos un triángulo $PQR$ con $p:=QR=7$ , $q:=RP=8$ y $r:=PQ=6$ . Entonces, los ángulos (internos) de este triángulo son todos menores que $\frac{2\pi}{3}$ . Si $X$ es el Punto Fermat del triángulo $PQR$ entonces $XP=A$ , $XQ=B$ y $XR=C$ . Sea $R'$ sea un punto en el lado opuesto de $QR$ con respecto a $P$ tal que $QRR'$ es un triángulo equilátero. Entonces, $A+B+C=PR'$ . Esto demuestra que $$(A+B+C)^2=\left(PR'\right)^2=(PQ)^2+\left(QR'\right)^2-2\,(PQ)\,\left(QR'\right)\,\cos\left(\angle PQR'\right)\,,$$ donde $PQ=6$ , $QR'=QR=7$ y $\angle PQR'=\angle PQR+\frac{\pi}{3}$ . Queda por determinar los valores de $\cos(\angle PQR)$ y $\sin(\angle PQR)$ , como $$\cos\left(\angle PQR'\right)=\cos\left(\angle PQR+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\,\cos(\angle PQR)-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\sin(\angle PQR)\,.$$
La respuesta es $(A+B+C)^2=\frac{149+63\sqrt{5}}{2}$ .
He aquí una forma puramente algebraica. Reste las ecuaciones en pares para obtener $$(C-B)(A+B+C)=28,$$$$ (C-A)(A+B+C)=13, $$$$(A-B)(A+B+C)=15.$$ Escribamos $x=(A+B+C)^2$ y $y=BC+CA+AB$ . Entonces, al elevar al cuadrado y sumar las tres ecuaciones anteriores se obtiene $$x(x-3y)=589.$$ Sumando las ecuaciones originales se obtiene $$2x-3y=149.$$ Eliminación de $3y$ entre estas ecuaciones da como resultado la ecuación cuadrática $$x^2-149x+589=0.$$ Resolviendo esto, obtenemos $$x=\tfrac12(149\pm63\surd5),$$ donde la raíz mayor corresponde al caso en que $A$ , $B$ y $C$ son todos positivos.
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¿Qué es? $A+B{}$ ?
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¿Qué quiere decir con "marcar un punto en su interior que haga 120 °"?
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@saulspatz Tomando un triángulo con lados $6,7,8$ y colocando un punto $P$ que mira a los lados en un ángulo de $120$ grados. Las distancias de $P$ a los vértices del triángulo son $A,B,C$ . La ecuación $\cos(120)=-1/2$ , se obtienen esas tres ecuaciones.
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Se puede dibujar un triángulo de este tipo y un punto en su interior, de forma que los rayos entre los puntos formen una $120^°$ ángulo entre ellos, entonces calcula $(A+B+C)^2$ , eso seguirá sin ser una prueba de que éste es el único valor posible de la tripleta $(A,B,C)$ y por lo tanto de $(A+B+C)^2$ .
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¡Eh! Parece que $(A+B+C)^2=\frac{82087461 + 29302035\sqrt{5} - 83076\sqrt{2355326 + 1045590\sqrt{5}} + 15211\sqrt{11776630 + 5227950\sqrt{5}}}{285076}$ cuando $A,B,C$ y positivo.
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@ArnaudMortier Eso está mal. Hay más soluciones que las que pueden ser longitudes de segmentos.
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Si etiquetó la geometría algebraica, ¿podemos utilizar la base de Groebner? wolframalpha.com/input/
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@LB_O Tu respuesta es idéntica a la mía, bastante mágica.
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@Batominovski Es porque sólo hay una solución del sistema en la que $A,B,C>0$ .
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@AlexSilva Para resolverlo usando las bases de Groebner se debe hacer así en su lugar. Las raíces del polinomio $w^2 - 149 w + 589$ en la base, es decir en $\mathbb{Q}[w]$ son todos los valores posibles de $(A+B+C)^2$ .
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No se puede calcular la respuesta con la geometría, aunque se puede construir un diagrama en el que un segmento de longitud $A+B+C$ características. Por ejemplo, vea la respuesta de mengdie1982 u otras cinco variantes de la misma.