¿cómo calcular los grupos de homología de un toro con n puntos eliminados?

Question

tengo grandes problemas para calcular los grupos de homología e incluso no sé cómo escribir la secuencia exacta para diferentes espacios. intenté tomar el toro con n puntos eliminados, homotópico a un círculo con n círculos adjuntos alrededor y usar mi intuición para obtener la respuesta que no estoy seguro si es verdadera... ¿alguien puede dar una respuesta detallada? realmente quiero aprender este tema.

Answer 1

Después de eliminar $1$ punto, y viendo el toro como un $CW$ complejo (dado haciendo las identificaciones habituales $I^2/\sim$ de un cuadrado) entonces, antes de pegar, podemos ampliar el agujero hasta el límite del cuadrado. Después de hacer las identificaciones, esto da la cuña de dos círculos.

Se puede continuar así para ver que el toro con $n$ puntos eliminados da la cuña de $n+1$ círculos. Al hacer esto, podemos calcular la homología (reducida) con Mayer-Vietoris (que se hace en Hatcher, si no recuerdo mal).

La forma más fácil de hacer esto es probablemente la inducción en el número de círculos, y observando que para la cuña de dos círculos, se pueden encontrar vecindades para que $A \cup B=X$ y $A \cap B$ es contraíble.

Answer 2

Como ya sabes calcular su grupo fundamental, el primer grupo de homología es la abelianización del grupo fundamental. El grupo de homología cero es isomorfo a $\mathbb{Z} $ ya que está conectado. Y el grupo de homología superior es cero ya que no es compacto.

Homología superior de una variedad lisa orientada, compacta y conectada con límite