Encuentre el valor mínimo de$\frac{a+b+c}{b-a}$

Question

Deje$f(x)=ax^2+bx+c$ donde$(a<b)$ y$f(x)\geq 0$$\forall x\in R$.

Encuentre el valor mínimo de$$\frac{a+b+c}{b-a}$ $

Si$f(x)\geq 0$$\forall x\in R$, entonces$b>a>0$ y$b^2-4ac\leq 0$ implica que$c>0$. Después de esto no puede encontrar la salida.

Answer 1

Como ha notado, tenemos$b > a > 0$, y$b^2-4ac\le 0$, de ahí$c\ge {\large{\frac{b^2}{4a}}}$.

Dejando$t=b-a$, tenemos$t > 0$ y$b=a+t$. \begin{align*} \text{Then}\;\;&\frac{a+b+c}{b-a}\\[4pt] &\ge \frac{a+b+\frac{b^2}{4a}}{b-a}\\[4pt] &=\frac{(2a+b)^2}{4a(b-a)}\\[4pt] &=\frac{(3a+t)^2}{4at}\\[4pt] &=\frac{9a^2+6at+t^2}{4at}\\[4pt] &=\frac{9a}{4t}+\frac{3}{2}+\frac{t}{4a}\\[4pt] &=\frac{3}{2}+\left(\frac{9a}{4t}+\frac{t}{4a}\right)\\[4pt] &\ge \frac{3}{2}+2\sqrt{\frac{9}{16}}\qquad\text{[by %#%#%]}\\[4pt] &=3\\[4pt] \end {align *} entonces$\text{AM-GM}$ es un límite inferior.

Para mostrar que$3$ es realizable, podemos usar$3$ y$a=1$ (lo que hace que el$t=3$ desigualdad sea una igualdad), por lo que$\text{AM-GM}$, y finalmente, dejando$b=a+t=4$, obtenemos$c={\large{\frac{b^2}{4a}}}=4$ $ lo que da el valor posible mínimo.

Answer 2

Sugerencia: completa el cuadrado. Escribe$ax^2+bx+c=a(x-d)^2+e$ donde puedes expresar$d,e$ en términos de$a,b,c$. Necesitas$a,e \gt 0$ pero$d$ puede ser cualquier cosa.

Answer 3

Si$f(x) \ge 0\to b^2-4ac \le 0$ forma el lagrangiano

$$ L (a, b, c, \ lambda, \ epsilon) = \ phi (a, b, c) + \ lambda (b ^ 2-4ac + \ epsilon ^ 2) $$

con

$$ \ phi (a, b, c) = \ frac {a + b + c} {ba} $$

Los puntos estacionarios se calculan resolviendo

$$ \ nabla L = \ left \ {\begin{array}{rcl} \frac{a+b+c}{(b-a)^2}-4 c \lambda +\frac{1}{b-a}=0 \\ -\frac{a+b+c}{(b-a)^2}+2 b \lambda +\frac{1}{b-a}=0 \\ \frac{1}{b-a}-4 a \lambda =0 \\ b^2+\epsilon ^2-4 a c=0 \\ 2 \epsilon \lambda =0 \\ \end {array} \ right. $$

obtenemos

$$ \ left [\begin{array}{cccccc} a & b & c & \lambda & \epsilon & \phi\\ -\frac{b}{2} & b & -\frac{b}{2} & -\frac{1}{3 b^2} & 0 & 0 \\ \frac{b}{4} & b & b & \frac{4}{3 b^2} & 0 & 3 \\ \end {array} \ right] $$

por lo tanto, la solución factible es

$$ a = \ frac b4, c = b $$

dando un valor mínimo de$3$

Answer 4

Dado$f(x) = ax^2+bx+c\geq 0\forall x \in \mathbb{R}$

Ahora pon el$x=-2,$ obtenemos$f(-2)\geq 4a-2b+c\geq 0\Rightarrow 2a+c\geq 2(b-a)$

Asi que $\displaystyle \frac{a+b+c}{b-a}=1+\frac{2a+c}{b-a}\geq 1+2=3.$