Evaluar $\int_0^\pi \sin^4\left(x+\sin (3x)\right)~dx$

Question

Evaluar la integral $\displaystyle\int_0^\pi \sin^4\left(x+\sin 3x\right)dx$

Mi trabajo:

Sea $I=\int_0^\pi \sin^4\left(x+\sin 3x\right)dx$

$=\int_0^\pi \frac18\left(\cos (4x+4\sin 3x)-4\cos(2x+2\sin 3x)+3\right)dx$

$=\frac{3\pi}{8}+\frac18\int_0^\pi\cos (4x+4\sin 3x)dx-\frac12\int_0^\pi\cos (2x+2\sin 3x)dx$

Answer 1

Sin expansión en series:

$\begin{align} \int_0^\pi \cos(4x+4\sin3x)dx &\stackrel{x\rightarrow x+\pi}= \int_{-\pi}^0\cos(4x-4\sin3x)dx\\ &\stackrel{x\rightarrow -x} =\int_0^\pi \cos(-4x+4\sin3x)dx\\ &\;\;=\int_0^\pi\cos(4x-4\sin3x)dx\\ &\;\;=\int_0^\pi\cos4x\cos(4\sin3x)dx\\ &\stackrel{\text{IBP}}{=}3\int_0^\pi\sin4x\sin(4\sin3x)\cos3xdx\\ &=\frac32\int_0^\pi(\sin7x+\sin x)\sin(4\sin3x)dx\\ &\;\;=0 \end{align}$

De manera similar, podemos demostrar que $$\int_0^\pi\cos(2x+2\sin3x)dx=0.$$ Por lo tanto, a partir de la ecuación que encontró el OP, tenemos $I=\frac38\pi$.