Evaluar $\int_0^\pi \sin^4\left(x+\sin (3x)\right)~dx$

Question

Evaluar la integral $\displaystyle\int_0^\pi \sin^4\left(x+\sin 3x\right)dx$

Mi trabajo:

Sea $I=\int_0^\pi \sin^4\left(x+\sin 3x\right)dx$

$=\int_0^\pi \frac18\left(\cos (4x+4\sin 3x)-4\cos(2x+2\sin 3x)+3\right)dx$

$=\frac{3\pi}{8}+\frac18\int_0^\pi\cos (4x+4\sin 3x)dx-\frac12\int_0^\pi\cos (2x+2\sin 3x)dx$

Answer 1

Antes de comenzar, veamos una familia relacionada de integrales.
Para cualquier entero $n$ y $\lambda \in \mathbb{R}$, sea $J_n(\lambda)$ la integral

$$J_n(\lambda) \stackrel{def}{=} \int_{-\pi}^{\pi} e^{in(x+\lambda\sin(3x))} dx$$

Es fácil ver que $J_0(\lambda) = 2\pi$ independientemente de $\lambda$. Además, $J_n(\lambda) = 0$ a menos que $3$ divida a $n$.

Para ver esto, usamos el hecho de que $\sin(3x)$ es periódico con período $\frac{2\pi}{3}$. Esto nos permite reescribir $J_n(\lambda)$ como $$\left(\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{3}} + \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}\right)e^{in(x+\lambda\sin(3x))} dx = \left(\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}e^{in(x+\lambda\sin(3x))} dx\right) \left(e^{-i\frac{2\pi n}{3}} + 1 + e^{i\frac{2\pi n}{3}}\right)$$ Cuando $n$ no es divisible por $3$, $J_n(\lambda)$ desaparece debido al factor $e^{-i\frac{2\pi n}{3}} + 1 + e^{i\frac{2\pi n}{3}}$.

Volviendo al problema original. Dado que tanto $x$ como $\sin(3x)$ son funciones impares, la suma también lo es. Junto con $\sin^4(x)$ siendo una función par, encontramos que el integrando es una función par.
Como resultado,

$$\begin{align}\int_0^\pi \sin^4(x + \sin(3x)) dx &= \frac12\int_{-\pi}^\pi \sin^4(x + \sin(3x))dx\\ &= \frac12\int_{-\pi}^\pi\left(\frac{ e^{i(x+\sin(3x))} - e^{-i(x+\sin(3x))}}{2i}\right)^4 dx\\ &= \frac{1}{32}\left[ J_4(1) - 4 J_2(1) + 6J_0(1) - 4J_{-2}(1) + J_{-4}(1)\right]\\ &= \frac{1}{32}\left[ 0 - 4(0) + 6(2\pi) - 4(0) + 0\right]\\ &= \frac{3\pi}{8} \end{align}$$

Acerca de la familia de integrales mencionada en la pregunta/comentario, tenemos

$$\int_0^\pi \cos (2^n x + k \sin (3x)) dx = \frac12 \int_{-\pi}^\pi \cos (2^n x + k \sin (3x)) dx = \frac14 \left(J_{2^n}(k') + J_{-2^n}(k')\right)$$ donde $k' = \frac{k}{2^n}$. Dado que $2^n$ no es divisible por $3$, todas evalúan a $0$.

Answer 2

$$I=\frac{3\pi}{8}+\frac18\underbrace{\int_0^\pi\cos (4x+4\sin 3x)dx}_{I_1}-\frac12\underbrace{\int_0^\pi\cos (2x+2\sin 3x)dx}_{I_2}$$

Un Enfoque Simple: Método de Series

$$\cos (4x+4\sin 3x)=\cos(4x)\cos(4\sin 3x)-\sin(4x)\sin(4\sin 3x)$$

Tomamos la expansión de la serie de Maclaurin:

$$\cos(4\sin 3x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\sin^{2n}(3x),~\sin(4\sin 3x)=\sum_{n=0}^\infty b_n\sin^{2n+1}(3x)$$ Usamos la propiedad de ortogonalidad para el producto interno $\langle\cos (4x),\sin^{2n}(3x)\rangle=0$ y $\langle\sin(4x),\sin^{2n+1}(3x)\rangle=0$ en $[0, \pi]$, obtenemos

$$\int_0^\pi\cos (4x)\sin^{2n}(3x)dx=0,~\int_0^\pi\sin(4x)\sin^{2n+1}(3x)dx=0$$

Es decir, la integral $I_1=0$. Usando el mismo método, tenemos que $I_2=0$.

Por lo tanto, $$\boxed{\int_0^\pi \sin^4\left(x+\sin 3x\right)dx=\frac{3\pi}8}$$

Answer 3

Dado que la pregunta ya ha sido respondida, me gustaría compartir las versiones generalizadas del problema:

(1) Sea $n,k\in N$ tal que $2p\not\equiv 0 \pmod {(2k+1)}$ $\forall p\in \{1,2,3,\ldots, n\}$ entonces $$\displaystyle \int_0^{\pi}\left[\sin\big(x+\sin((2k+1)x)\big)\right]^{2n}dx=\displaystyle \frac {{2n-1 \choose n}}{2^{2n-1}}\pi$$

(2) $$\displaystyle \int_0^{\pi} \left[\sin \big(x+\sin((2k+1)x)\big)\right]^{2n}dx$$ $$=\displaystyle \frac {{2n-1 \choose n}\pi}{2^{2n-1}}+\frac {\pi}{2^{2n-1}(2k+1)}\sum_{i=1}^{\left\lfloor \frac {n}{2k+1}\right\rfloor} \sum_{r=0}^{2k} (-1)^i {2n \choose n-(2k+1)i}J_{2i}(2i(2k+1)\cdot (-1)^{r+1})$$ donde $J_{\nu}(z)$ denota la función de Bessel de primer tipo.

Answer 4

$$I=\frac{3\pi}{8}+\frac18\int_0^\pi\cos (4x+4\sin 3x)dx-\frac12\int_0^\pi\cos (2x+2\sin 3x)dx$$

Un enfoque simple: Método de residuos

Dado que ambos integrandos anteriores son pares, es equivalente mostrar que lo siguiente se anula.

$$I_1=\int_{-\pi}^\pi\cos (4x+4\sin 3x)dx=0,~ I_2=\int_{-\pi}^\pi\cos (2x+2\sin 3x)dx=0$$

Sea $z=e^{ix},$ obtenemos

$$I_1=\Re\oint \frac{z^3}ie^{2z^3}e^{-\frac{2}{z^{3}}}~dz,~~~I_2=\Re\oint \frac{z}ie^{z^3}e^{-\frac{1}{z^{3}}}~dz$$

A continuación, inspeccionamos el coeficiente para el término $z^{-1}$ en sus series de Laurent:

$$\begin{align}\frac{z^3}ie^{2z^3}e^{-\frac{2}{z^{3}}}&=\frac{1}{i}\sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n2^{m+n}}{m!n!}z^{3(m-n)+3}\\ \\ \frac{z}ie^{z^3}e^{-\frac{1}{z^{3}}}&=\frac{1}{i}\sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{m!n!}z^{3(m-n)+1}\end{align}$$

Ninguno de ellos tiene el término $z^{-1}$ en sus series de Laurent, por lo tanto ambos de sus residuos son cero, es decir, $$I_1=I_2=0$$

Por lo tanto,

$$\boxed{\int_0^\pi \sin^4\left(x+\sin 3x\right)dx=\frac{3\pi}8}$$

Answer 5

Lo publico, porque mi solución parece más fácil.

Sea $\phi(x)=x+\sin(3x)$ y $I_0=\int_{0}^{\pi}dx \sin^4(\phi(x))$

$$2\pi=\int_{-\pi}^{\pi}dx \left[\sin^2(\phi(x))+\cos^2(\phi(x))\right]^2=\int_{-\pi}^{\pi}dx \left[\sin^4(\phi(x))+\cos^4(\phi(x))+2\sin^2(\phi(x))\cos^2(\phi(x))\right]=4 I_0+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}dx\sin^2(2\phi(x))\\=4I_0+\frac{1}{4}\int_{-\pi}^{\pi}dx\left[\sin^2(2\phi(x))+\cos^2(2\phi(x))\right]=4I_0+\frac{\pi}{2}$$ A partir de esta identidad, obtenemos directamente el resultado $$I_0=\frac{3\pi}{8}$$ .