¿Es posible comprobar la inyectabilidad de un homomorfismo marcando sólo los generadores del grupo?

Question

Que $G$ sea un grupo con generadores ${gi}{i\in I}$.

Que $\psi:G\to H$ ser un homomorfismo de grupo (otro grupo $H$).

¿Es posible comprobar la inyectabilidad de $\psi$ solo marcando los generadores?

¿Es decir, si implica la $\psi(g_i)=\psi(g_j)$ $g_i=g_j$ % todo $i$, $j$, necesariamente significa que el $\psi$ es inyectivo?

Gracias.

Answer 1

No. Definir tomar $\varphi\colon\mathbb{Z}^2\longrightarrow\mathbb Z$ $\varphi(x,y)=x+2y$. Se genera el grupo $\mathbb{Z}^2$ $(1,0)$ y $(0,1)$ y $\varphi(1,0)\neq\varphi(0,1)$. Sin embargo, $\varphi$ es no inyectivo.

Answer 2

No. Con lo que sugieres, el mapa $\Psi: G\to G$ es la identidad en todos los generadores menos uno, $g_1$ que se asigna a $e$, sería inyectiva.

O si por ejemplo cada $g_i$ es de orden infinito podrían definir $\phi(g_i)=g_1^i$, que otra vez fuertemente no es inyectiva pero no la prueba.