¿Por qué usamos la métrica euclidiana en $\mathbb{R}^2$?

Question

En el tren de regreso a casa, pensé que intentaría probar que $\pi$ es irracional. Necesitaba una definición, así que usé:

$\pi$ es el área del círculo unitario.

Pero, ¿qué es un círculo?

Un círculo es el conjunto de tuplas $(x,y)$ que satisfacen "$x^2 + y^2 \leq 1$".

Eso parece un poco incómodo, ¿hay una forma más natural de decirlo?

La métrica de distancia estándar en $\mathbb{R}^2$ es "$\sqrt{(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2}$". Un círculo es la bola unitaria de esta métrica, y $\pi$ es su área.

¿Pero por qué usamos esta métrica en primer lugar? ¿Por qué no usar la métrica del taxista, que es lineal y parecería satisfacer más propiedades matemáticas agradables?

Por el teorema de Pitágoras.

¿Y qué propiedad de $\mathbb{R}^2$ nos permite probar el teorema de Pitágoras?

Esta me llevó un poco más de pensamiento. Creo que surge porque queremos asociar longitudes a líneas que son equivalentes bajo traslaciones y rotaciones. Las traslaciones parecen bastante naturales, pero tengo problemas para definir las rotaciones sin ser circulares:

• Si multiplicas una tupla de coordenadas por la matriz apropiada, obtienes una rotación, pero las entradas de la matriz involucran $\sin$ y $\cos$, que definiría como las coordenadas en el círculo unitario (que es circular).

• Puedo definir el conjunto de todas las líneas infinitas que pasan por el origen. Excepto la línea vertical, podrías asumir que todas tienen la forma $L_m = \{(x,y)|y = mx\}$ para algún $m \in \mathbb{R}$. Dado un $m \in \mathbb{R}$, no encuentro una forma obvia de obtener el punto en el círculo unitario que le corresponde.

• La ruta de los números complejos solo da $\sin$ y $\cos$. De nuevo, circular.

• Podemos determinar si dos vectores son ortogonales usando el producto punto. Eso reduce la definición de todo el círculo unitario a definir solo un cuadrante (si también asumimos que la longitud de $-1 * x$ es la misma que $x$).

• Una rápida búsqueda en Google muestra que los círculos eran una noción primitiva en los Elementos de Euclides.

• Hay otra pregunta/respuesta dada aquí, pero aún me quedé confundido sobre qué es realmente una rotación en $\mathbb{R}^2": Why is the Euclidean metric the natural choice?

Entonces, mis preguntas son:

1. De todas las posibles métricas, ¿por qué elegir la métrica euclidiana como la natural? Creo que es la rotación la causa principal, pero eso podría resultar ser una distracción.
2. ¿Cómo definimos una equivalencia natural de puntos hasta la rotación desde primeros principios?
3. Esto está relacionado con la pregunta n° 1. Si definimos el conjunto de líneas infinitas que pasan por el origen, puedes elegir un elemento representativo de cada uno y formar una curva de perímetro (asumiendo una función de elección continua). ¿Qué propiedades tiene el círculo que lo convertirían en una elección natural?

Answer 1

La métrica euclidiana es especial porque proviene de lo que se llama un producto interno, y hasta cierto punto es la única métrica que lo hace. Esto te permite hablar sobre los ángulos entre vectores de una manera sensata, lo que no se puede hacer con otras métricas.

Por lo tanto, realmente no elegimos usar la métrica euclidiana, sino que elegimos utilizar el producto punto (el único producto interno en $\mathbb R^2$, hasta cierto punto) y obtenemos la métrica euclidiana como resultado.

Answer 2

La razón obvia por la que la métrica euclidiana es estándar es que así es como parecen comportarse las distancias en la naturaleza. Yo pensaría que en cualquier universo la métrica "Estándar" de la que hablarían los extraterrestres (si hablaran de tal concepto) es aquella que encaja más obviamente con la distancia física real en su universo. Por supuesto, también existen buenas razones matemáticas para la métrica euclidiana.

Answer 3

La llamada métrica euclidiana se utiliza para hacer que $\mathbb R^2 $ sea un modelo del plano euclidiano. Como se describe en los Elementos de Euclides.

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Las isometrías de esta métrica son las congruencias de la geometría euclidiana. En particular: las rotaciones son isometrías, como se dice en 1. [Además, las traslaciones y reflexiones son isometrías.]

Answer 4

Es un poco filosófico, supongo, pero cuando no quieres medir distancias, sino que en su lugar quieres medir "órdenes de magnitud de distancias", entonces una distancia no arquimediana es mejor.

Answer 5

Usamos la 2-norma simplemente porque funciona, es decir, cumple las propiedades del espacio euclidiano.

• Ninguna dimensión es más importante que otra (por ejemplo, la distancia de Chebyshev no califica).

• $\mathbb{R}^2$ es un espacio de coordenadas reales. Así que los enteros también tienen que funcionar. Para enteros positivos $x, y, z$, $x^n+y^n=z^n$ no funciona para $n > 2$. [1]

• No hay un punto de referencia. Por ejemplo, la distancia utilizando la 1-norma depende de qué vector elijas como eje.

• Cuando giras, la distancia no cambia, de ahí el círculo unitario.

[1] https://es.wikipedia.org/wiki/Último_teorema_de_Fermat