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Puesto que este integral es muy vinculada a la regla del cociente para la diferenciación (debido a la plaza en el denominador), vamos a intentar escribir el numerador como una expresión de la forma $$P'(x)\cdot(4x^3+3x^2+2x+1)-P(x)\cdot(4x^3+3x^2+2x+1)'$$ so $% $ $3x^4+4x^3+3x^2=P'(x)\cdot(4x^3+3x^2+2x+1)-2P(x)\cdot(6x^2+3x+1).$
Vemos que el $P$ debe ser al menos una cuadrática, así $P(x)=ax^2+bx+c$ para algunos números reales $a,b,c$. Entonces $$\begin{align}3x^4+4x^3+3x^2&=(2ax+b)\cdot(4x^3+3x^2+2x+1)-2(ax^2+bx+c)(6x^2+3x+1)\&=8ax^4+(6a+4b)x^3+(4a+3b)x^2+(2a+b)x+b-12ax^4-(6a+12b)x^3\&\,\,\,\,\,\,-(2a+6b+12c)x^2-(2b+6c)x-2c\&=-4ax^4-8bx^3+(2a-3b-9c)x^2+(2a-b-6c)x+b-2c\end{align}$$ Hence $$a=-\frac34,\quad b=-\frac12,\quad c=-\frac14$$ This means that $$P(x)=-\frac14(3x^2+2x+1)$$ so $% $ $\int_0^1\dfrac{3x^4+ 4x^3 + 3x^2}{(4x^3 + 3x^2 + 2x+ 1)^2}\, dx=-\frac14\left[\frac{3x^2+2x+1}{4x^3 + 3x^2 + 2x+ 1}\right]_0^1=\frac1{10}.$
La sugerencia de @achillehui para sustituir a $x\to y=\frac{1}{x}$ es valiosa y debe ser una respuesta propia.
Obtenemos\begin{align} \color{blue}{\int_0^1\frac{3x^4+4x^3+3x^2}{\left(4x^3+3x^2+2x+1\right)^2}\,dx} &=\int_1^\infty\frac{3y^{-4}+4y^{-3}+3y^{-2}}{\left(4y^{-3}+3y^{-2}+2y^{-1}+1\right)}y^{-2}\,dy\tag{1}\ &=\int_1^\infty\frac{3y^2+4y+3}{\left(y^3+2y^2+3y+4\right)^2}\,dy\tag{2}\ &=-\left.\frac{1}{y^3+2y^2+3y+4}\right|_1^\infty\tag{3}\ &\color{blue}{=\frac{1}{10}} \end{align}
Comentario:
- (1) sustituimos $y=\frac{1}{x},\quad dy=-\frac{1}{x^2}dx$.
- En (2) ampliamos con $y^6$.
- (3) integramos señalando que $\frac{d}{dy}\left(y^3+2y^2+3y+4\right)=3y^2+4y+3$.
