Relación entre los espacios métricos, los espacios vectoriales normados y el espacio del producto interior.

Question

Me pregunto cuál es exactamente la relación entre los tres espacios mencionados. Todos ellos parecen aparecer muchas veces en: Álgebra Lineal, Topología y Análisis. Sin embargo, siento que me estoy perdiendo el panorama general de cómo estos espacios se relacionan entre sí. Por ejemplo, en mi curso de análisis multidimensional, empezamos hablando de espacios métricos, pero luego cambiamos repentinamente a espacios vectoriales normados, sin ninguna mención explícita de esta transición. En álgebra lineal solemos hablar de espacios de producto interno, y en topología hablamos de espacios métricos y espacios topológicos.

El panorama general de la relación entre estos tres sigue sin estar claro para mí. ¿Cuál se utiliza dónde, por qué razón y cómo se relacionan?

Conozco las definiciones de los tres:

A espacio métrico es un par $(S,d)$ con $S$ un conjunto y $d: S \times S \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ a métrica :

• $d(x,x) = 0$ para todos $x \in S$ y $d(x,y) >0$ para $x \neq y$ ,
• $d(x,y) = d(y,x)$ ,
• $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ .

A (real) espacio del producto interior es un par $(V,\langle \cdot \rangle)$ donde $V$ es un espacio vectorial (real) y $\langle \cdot \rangle: V \times V \to \mathbb{R}$ es un producto interior :

• $\langle v,w \rangle = \langle w,v \rangle$ ,
• $\langle a_1 v_1 + a_2v_2,w \rangle = a_1\langle v_1,w \rangle + a_2\langle v_2,w \rangle$ para todos $a_1,a_2 \in \mathbb{R}$ ,
• $v \neq 0 \Longrightarrow \langle v,v \rangle > 0$ .

A (real) espacio vectorial normado es un par $(V,\|\cdot\|)$ donde $V$ es un espacio vectorial (real) y $\|\cdot\|: V \to \mathbb{R}_{\geq 0}: v \mapsto \|v\|$ es un norma en $V$ :

• $\|v\| \geq 0$ y $\|v\| = 0 \ \Longleftrightarrow \ v = 0$ .
• Para $t \in \mathbb{R}$ y $v \in V$ tenemos $\|tv\| = |t|\|v\|$
• $\|v+w\| \leq \|v\| + \|w\|$ .

También sé que un producto interior da lugar a una norma tomando $\|v\| = \sqrt{\langle v,v \rangle}$ por ejemplo, la norma euclidiana se deriva del producto interior estándar en $\mathbb{R}^n$ de esta manera. Y Cauchy-Schwarz: $|\langle x,y \rangle| \leq \|x\|\|y\|$ .

No me interesan los detalles de las definiciones, sino la intuición y el panorama general de estos tres espacios, y cómo se manifiestan en el Análisis.

Answer 1

Tiene las siguientes inclusiones:

$$\{ \textrm{inner product vector spaces} \} \subsetneq \{ \textrm{normed vector spaces} \} \subsetneq \{ \textrm{metric spaces} \} \subsetneq \{ \textrm{topological spaces} \}.$$

Yendo de la izquierda a la derecha en la cadena de inclusiones anterior, cada "categoría de espacios" conlleva menos estructura. En los espacios de producto interno, se puede utilizar el producto interno para hablar tanto de la longitud y el ángulo de los vectores (porque el producto interior induce una norma). En un espacio vectorial normado, sólo se puede hablar de la longitud de los vectores y utilizarla para definir una métrica especial en el espacio que medirá la distancia entre dos vectores. En un espacio métrico, los elementos del espacio ni siquiera tienen que ser vectores (e incluso si lo son, la métrica en sí no tiene que provenir de una norma), pero todavía se puede hablar de la distancia entre dos puntos del espacio, bolas abiertas, etc. En un espacio topológico, no se puede hablar de la distancia entre dos puntos, pero sí de vecindades abiertas.

Debido a esta inclusión, todo lo que funciona para los espacios topológicos generales funcionará en particular para todos los demás espacios, pero hay algunas cosas que se pueden hacer en (digamos) espacios vectoriales normados que no tienen sentido en un espacio topológico general. Por ejemplo, si se tiene una función $f \colon V \rightarrow \mathbb{R}$ en un espacio vectorial normado, se puede definir la derivada direccional de $f$ en $p \in V$ en la dirección $v \in V$ por el límite

$$ \lim_{t \to 0} \frac{f(p + tv) - f(p)}{t}. $$

En la definición, se utiliza el hecho de que se puede sumar el vector $tv$ al grano $p$ . Si intentas imitar esta definición en un espacio topológico, como el conjunto en sí no tiene la estructura de un espacio vectorial, no puedes añadir dos elementos, por lo que esta definición no tiene sentido. Por eso, durante tus estudios, a veces restringes tu atención a una categoría más pequeña de espacios que tiene más estructura para que puedas hacer más cosas en ella.

Se pueden discutir las nociones de continuidad y compacidad sólo en la categoría (contexto) de los espacios topológicos (pero por razones de simplicidad se suele hacer al principio de los estudios en la categoría de espacios métricos). Sin embargo, una vez que se quiere discutir la diferenciabilidad, entonces (en primera aproximación, antes de pasar a los colectores) hay que restringir la categoría y trabajar con espacios vectoriales normados. Si además quieres discutir el ángulo que forman dos curvas, tendrás que restringir aún más tu categoría y trabajar con espacios vectoriales de producto interno en los que la noción de ángulo tenga sentido, etc.

Answer 2

1. Todo espacio de producto interno es (puede hacerse naturalmente) un espacio normado definiendo $$\|x\|:=\sqrt{\langle x, x\rangle} $$ (siguiendo el ejemplo de los líderes $\Bbb R^n$ )

2. Todo espacio normado es, por definición, un espacio lineal, y al mismo tiempo puede estar dotado naturalmente de una métrica: $$d(x, y) :=\|y-x\|$$

Se puede comprobar que los respectivos axiomas se satisfacen efectivamente.

Los espacios métricos proporcionan un marco general para continuidad y continuidad uniforme .
Podemos definir diferenciación en espacios normados.

Teniendo en cuenta que la clase de funciones de valor real o complejo (agradable) forman un espacio lineal, podemos investigar varias normas para ellas, incluso productos internos, que es el estudio de análisis funcional .

Answer 3

Un espacio del producto interior $\left(V,\langle\cdot,\cdot\rangle\right) $ también es un espacio vectorial normado $\left(V,\lVert\cdot\rVert\right) $ , tomando $$ \lVert v\rVert \colon= \sqrt{\langle v,v\rangle} \qquad\forall v\in V$$

A espacio vectorial normado $\left(V,\lVert\cdot\rVert\right) $ también es un espacio vectorial métrico $(V,d) $ , tomando $$ d(x,y)\colon=\lVert x-y\rVert \qquad\forall x,y\in V$$

En resumen $$ \text{Inner product}\implies \text{Norm}\implies \text{Metric} $$