¿Por qué don ' t indicamos la variable a sumar como hacemos para integrales?

Question

Cuando la integración de más de una cierta variable $x$, nos aseguramos de que a finales de la integral con $dx$, así:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx$$ La razón de esto, por supuesto, se vuelve más claro a medida que uno se adentra en una sola y, especialmente, cálculo multivariable, donde uno descubre que no sólo significa que la variable de integración.

Pero no hay ninguna razón válida para escribir, por ejemplo, la suma de $1+1/4+1/9+\dots$ de esta manera:

$$\sum_{1}^{\infty} \frac{dn}{n^2}$$

En lugar de la habitual:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$

Alguna vez ha sido hecho?

Answer 1

La "d$x$" es mejor considerado como un recurso mnemotécnico símbolo, y se recuerda al lector (aunque un poco confuso para los principiantes) cómo una integral que se lleva a cabo. En Russell término, "d$x$" se denomina incompleta símbolo, que no tiene significado en sí mismo cuando escapaba de un contexto dado.

No veo razones aparentes para mantener un autor alejado de la escritura $\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}dn,$ y, de hecho, yo escribo así que cuando quiero subrayar la similitud entre el discreto y lo continuo. Sin embargo, creo que en el caso discreto d$n$ es simplemente = 1.

Answer 2

$dx$ Ves en una integral cósmico se relaciona con el $\Delta x$ ves en una suma de Riemann:

$$ \sum_{i=1}^n f(c_i^*) \Delta x_i $$

donde $c_i^*$ es el punto de muestreo en el intervalo de #%-th %#% y $i$ es el ancho del intervalo $\Delta x_i$-th. $i$ Es a menudo considerado como la versión "infinitamente pequeña" de $dx$. Esto es similar a la $\Delta x_i$%, que significa un infinitesimal $dx$ $\frac d{dx}$en el denominador.

Answer 3

Bueno, eso es sólo la forma en que funciona la notación, pero hay muy buenas razones para ello.

Nos podría haber usado algo como

$$\int_{x=1}^{\infty} \frac{1}{x^2}$$

para mantener la coherencia, en un sentido, pero el significado y la colocación de la diferencia de $dx$ es un poco más sutil que un índice de la suma, y tiene perfecto sentido.

La notación $\int f(x) dx$ significa sumar ("$\int$") el producto "$f(x) \, dx$", no sumar "$f(x)$" a "$dx$". La razón original para esto se basa en la noción de infinitesimals, pero puede asociar $dx$ para el plazo $\Delta x$ en una suma de Riemann, que también se multiplica por el integrando.

Este uso es conceptualmente diferente de la manera en que los índices se utilizan en sumatorias.

Pero, en principio, es sólo la notación.

Answer 4

La $dx$ $dn$ las piezas o se utilizan en integrales para demostrar que somos una integración sobre la variable y por lo tanto podemos abusar de la notación.

Para sumas y productos de la variable que estamos sumando sobre está escrita bajo el signo de suma o producto, no es necesario escribir que la variable que estamos sumando más de dos veces.