Problema de álgebra (derivando una variable en una fórmula)

Question

Cómo derivar el $m$ en la fórmula: $$I=\left(1+\frac{r}{m}\right)^{mn} -1$ $

todos los valores de las variables en la fórmula excepto $m$ se da y la cuestión es encuentran $m$. No sé cómo derivar la fórmula, utilizando los conocimientos de álgebra que tengo.

Answer 1

Usando la respuesta de David, fijamos $t=\dfrac rm$, y

$$\sqrt[nr]{1+I}=(1+t)^{1/t}=s,$ $ o $$1+t=s^t=e^{t\ln(s)}.$ $

Entonces $$(1+t)s=e^{(1+t)\ln(s)},$$ $$-(1+t)\ln(s)\,e^{-(1+t)\ln(s)}=-\frac{\ln(s)}s,$ $ y $ de $$-(1+t)\ln(s)=W(-\frac{\ln(s)}s).$, $$m=\frac r{-\dfrac{W(-\frac{\ln(s)}s)}{\ln(s)}-1}.$ $

Answer 2

Esto parece una pregunta de interés compuesto, así que vemos que la función de Lambert W algo esotérica pronto podría ser parte de la caja de herramientas técnica del Colegio de contadores públicos! para obtener una idea más clara de lo que está sucediendo, utilizando sólo álgebra elemental, OP puede ser útil para hacer una sustitución inicial, decir $ x = \frac{m}{r} $, para que la ecuación se convierte en: $$ I = (1 + x ^ {-1}) ^ {nrx} -1 $$ o $$ \sqrt[nr]{1+I} = (1 + x ^ {-1}) ^ x $$ donde el lado izquierdo es un computables a partir de los datos del problema de la constante